Gota de agua deslizándose sobre una superficie (curva de *descenso más pronunciado*)

El siguiente argumento asume que la gota es una partícula puntual como lo menciona @m3tro en su comentario. Creo que su pregunta también asumió una partícula puntual porque pregunta sobre "... LA curva de descenso más pronunciado...". Si no fuera una partícula puntual, se extendería sobre un número infinito de curvas.

Hay dos fuerzas que actúan sobre la gota en cualquier lugar de la superficie.

1. La fuerza debida a la gravedad. Esta fuerza es perpendicular a la curva de nivel de la superficie en la ubicación de la gota por definición.

2. La fuerza normal que actúa entre la gota y la superficie. Esta fuerza también es perpendicular a la curva de nivel de la superficie en la ubicación de la gota porque la fuerza es perpendicular a la superficie (por definición) y la curva de nivel de la superficie está en la superficie.

Así que tenemos dos fuerzas actuando sobre la gota, ambas perpendiculares a la curva de nivel de la superficie. Por lo tanto, la fuerza resultante también es perpendicular a la curva de nivel de la superficie. Por lo tanto, la aceleración de la gota también debe ser perpendicular a la curva de nivel de la superficie ya lo largo de la curva de descenso más empinado.

Ha especificado que no hay efecto de inercia. Supongo que esto significa que la gota no tiene "memoria" de su movimiento actual y siempre se moverá en la dirección de la aceleración instantánea. Este también será el caso cuando la velocidad de la gota sea muy, muy pequeña.

Creo que esto prueba que la gota se moverá a lo largo de la curva de descenso más empinado en ausencia de inercia. Con inercia, la trayectoria dependerá de la velocidad y, por lo tanto, de la fuerza de "fricción" de la gota sobre la superficie.

El artículo ¿Cuándo encuentra el agua el camino más corto cuesta abajo? La geometría de las curvas de descenso más empinadas parece respaldar mi conclusión, aunque no tengo acceso al documento completo. En una nota al pie de la vista previa del artículo dice...

El modelo de descenso más empinado no es exacto para todas las situaciones. Un problema es que tiene en cuenta la energía potencial, pero ignora la energía cinética. Cuando el agua fluye rápidamente, tiende a seguir fluyendo en la misma dirección, incluso si tiene que subir un poco para hacerlo.

Intentaré probar o refutar la afirmación usando mecánica analítica:

Una gota de agua seguirá el camino más empinado de descenso a lo largo de cualquier superficie curva.

Hay una serie de suposiciones que tomaré:

• La fricción no se aplica
• La gota es de un tamaño lo suficientemente pequeño como para poder aproximar su movimiento usando una masa puntual

Usando cálculo vectorial, la trayectoria de descenso más pronunciado de cualquier partícula sobre cualquier superficie dada por una función de dos variables tendrá un vector de velocidad que es proporcional al gradiente negativo en cualquier punto. En otras palabras

$$\dot{\bf{r}}=-k\nabla f$$ Esta ecuación es nuestra base para probar el enunciado. Si nuestras ecuaciones de movimiento coinciden con esto, entonces tu afirmación es verdadera. Usaré coordenadas cartesianas por simplicidad; nuestra ecuación se convierte en: $$\dot{x}=-\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}, \space \dot{y}=-\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$$ $$z=f(x,y)$$ La declaración para z es una restricción holonómica que se escribe más apropiadamente como:

$$\lambda (f(x,y)-z)=0$$

($\lambda$es un multiplicador de lagrange). Ahora estamos preparados para obtener nuestras ecuaciones de movimiento. El lagrangiano es

$$L=T-U$$ dónde $$T = \frac 1 2 m (\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)$$ y $$U=m g z$$ agreguemos $\lambda (f(x,y)-z)$a nuestro Lagrangiano (en otras palabras $0$). $$L=\frac 1 2 m (\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2))+m g z+\lambda (f(x,y)-z)$$ Ahora podemos usar las ecuaciones de Euler-Lagrange para obtener las ecuaciones de movimiento. $$\frac {\partial{L}} {\partial{q_i}}- \frac{d}{dt} \frac {\partial{L}} {\partial{\dot{q_i}}}=0$$

Conectando nuestro Lagrangiano y coordenadas ($x$,$y$,$z$,$\lambda$) obtenemos:

$$-m \ddot{x}+\lambda \frac{\partial{f(x,y)}}{\partial{x}}=0, \space -m \ddot{y}+\lambda \frac{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}}=0$$ en otras palabras, $$\ddot{\bf{r}}=\frac{\lambda}{m}\nabla f$$

En resumen, esto significa que la gota acelerará a lo largo del camino de descenso más pronunciado, pero no necesariamente recorrerá el camino de descenso más pronunciado.

Ciertamente, es posible demostrar que para algunas condiciones particulares la gota se deslizará siguiendo la curva de descenso más empinada. Solo hay que asegurarse de que la superficie y la posición inicial de la gota tengan las simetrías correctas. Por ejemplo, una gota en un plano inclinado seguramente caerá a lo largo de la curva de descenso más empinado (si no tiene velocidad inicial). Lo mismo ocurrirá con una gota colocada en el "medio" de un tubo cilíndrico inclinado. En general, si la superficie tiene un plano de simetría especular que es perpendicular al suelo y coloca la gota en la curva de intersección entre este plano de simetría y la superficie, seguirá esta curva de intersección, que también es la curva de descenso más empinado. a menos que sea plano. (Esta curva de intersección será la parte superior de una "cresta de montaña" o la parte inferior de una "

Ejemplo agregado: si prefiere pensar en términos más matemáticos, imagine una superficie dada por

$$z = f(x,y)$$ dónde $f(x,y)$es una función par de $x$. Si coloca la gota de modo que su centro de masa esté en $x=0$, fluirá por la curva de mayor descenso dada por $x=0$. Véase, por ejemplo , este valle o esta cresta .

Llamemos a la fórmula de la colina por la que viaja la gota$z=f(x,y)$. Además, aproximemos la gota usando una masa puntual. Para simplificar aún más el problema, ignoremos la fricción.

La fuerza neta sobre la partícula es la suma de la fuerza normal y el peso del punto.

Podemos encontrar un vector paralelo al vector normal calculando el siguiente producto vectorial:

$$\left(1,0,\frac{\partial f}{\partial x}\right)\times\left(0,1,\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\left(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1\right)$$ Llamemos a este vector $N$. Entonces, el vector unitario normal es $$\frac{1}{\left|\left|N\right|\right|}\left(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1\right)$$ Entonces, la fuerza normal, $F_n$, es $$\frac{\left|\left|F_n\right|\right|}{\left|\left|N\right|\right|}\left(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1\right)$$ Ya sabemos que el peso del punto es $$\left(0,0,-mg\right)$$ Entonces, la fuerza neta es $$\left(-\frac{\left|\left|F_n\right|\right|}{\left|\left|N\right|\right|}\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\left|\left|F_n\right|\right|}{\left|\left|N\right|\right|}\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\left|\left|F_n\right|\right|}{\left|\left|N\right|\right|}-mg\right)$$ Podemos ver que la proyección de este vector sobre la $xy$plano apunta en la misma dirección que el vector de gradiente negativo, que es $$-\nabla f(x,y)=\left(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y}\right)$$ Esto implica que el punto acelera hacia el camino de descenso más empinado.