¿Cuánto puede subir el agua por encima del borde de un vaso?

Como se da en la respuesta de Jamie, asumiré que la superficie es una revolución sobre$r=0$, que la curvatura media es proporcional a la diferencia de presión y que el radio de la copa es mucho mayor que el inverso de esta curvatura media. En este caso, la curvatura media se puede especificar como

$$K_m = \frac{r''}{2(1+r'^2)^{\frac32}}$$

Como en la respuesta de Jamie, la ecuación de Young-Laplace y la presión hidrostática dan

$$2\,\gamma\,K_m = \Delta P = -\rho\,g\,z$$ Situando el origen en la superficie y z positivo en la dirección de la gravedad.

Combinando rendimientos

$$-\rho\,g\,z = \frac{\gamma\,r''}{(1+r'^2)^{\frac32}}$$

Sustituyendo$q=r'$produce una ecuación diferencial de primer orden

$$-\rho\,g\,z = \frac{\gamma\,q'}{(1+q^2)^{\frac32}}$$

integrando

$$-\frac12\,\rho\,g\,z^2 = \frac{\gamma\,q}{\sqrt{1+q^2}}+C$$

Sabemos que en la parte superior del agua la superficie es plana lo que correspondería a$q=r'=\infty$esta condición se da$C=-\gamma$

$$z= \sqrt{\frac{2\,\gamma}{\rho\,g}(1-\frac{q}{\sqrt{1+q^2}})}$$

ahora desde$q=r'=tan\,\alpha$dónde$\alpha$se describe en la pregunta,$z$simplifica a

$$z= \sqrt{\frac{2\,\gamma}{\rho\,g}(1-sin\,\alpha)}$$

Que es de hecho la fórmula dada en la respuesta de John Rennie.

Así que ahora la pregunta es qué alfa usar. Propongo que el agua continuará expandiéndose alrededor del borde curvo de un vaso manteniendo su ángulo de contacto hasta el punto en el que, al avanzar más a lo largo del borde, la parte superior de la superficie bajaría de acuerdo con la ecuación anterior, ya que en ese punto la superficie sería inestable. . Esto depende de la curva del borde del vaso.$r_l$.

Si el borde del agua en el borde del vaso está en coordenadas polares$\phi$y el líquido tiene un ángulo de contacto$\theta$, después$\alpha=\phi-\theta$, y mi altura total$h$se dará como

$$h=\sqrt{\frac{2\,\gamma}{\rho\,g}(1-sin(\phi-\theta))}+r_l\,(sin\,\phi-1)$$

Desafortunadamente, esto no tiene un máximo de forma cerrada sobre theta, pero podemos ver que para valores pequeños de$r$el máximo será cuando$\phi\lt 0$. Esto no es físico ya que el líquido comenzaría a deslizarse por el costado del vaso y se volvería inestable primero. Podemos resolver para el valor de r en el que esto ocurre

$$r_l=cos\,\theta\sqrt{\frac{\gamma}{2\,\rho\,g\,(1+sin\,\theta)}}$$ Para cualquier radio de labio por debajo de este valor, la altura máxima del líquido sería $$h=\sqrt{\frac{2\,\gamma}{\rho\,g}(1+sin\,\theta)}-r_l$$

Para el agua, este radio se calcula en aproximadamente$1mm$y para un vaso con un radio muy pequeño, la altura se calcula en aproximadamente$4mm$un poco más alto de lo que he logrado, pero no irrazonable para un límite superior teórico.

Para vidrios con un radio mayor, la altura máxima se puede resolver numéricamente. Aquí hay una trama.

Y los correspondientes "ángulos de contacto labial"

Experimenté con mi taza de té, un bonito cilindro largo.

El agua subía ligeramente por las paredes formando una superficie cóncava. Cuando llegó al borde, goteé agua hasta que el borde exterior se volvió convexo y la superficie del agua es casi una cúpula, aunque solo veo la curvatura en el borde donde el agua no fluye, mostrando tensión superficial (tanto al agua como a la cerámica). ).

Estoy brillando con una linterna y los reflejos que se ven están en el agua. La curvatura de la derecha está sobre el agua. Conservó su forma después de que se desbordó (yo estaba goteando el agua). Radio de copa de 3,5 cm, altura del agua de aproximadamente 1 mm.

No puedo responder a su pregunta porque depende de la forma de la llanta, sin embargo, puedo responder una pregunta relacionada que debería adaptarse fácilmente a su problema.

Si tiene un charco de agua en una superficie plana del espesor de la película de agua ,$h$, es dado por:

$$h = \sqrt{ \frac{2\gamma_{al}(1 - cos\theta)}{g\rho} }$$

donde las variables tienen sus significados habituales:$\gamma_{al}$es la tensión superficial aire/líquido,$\theta$es el ángulo de contacto,$g$es la aceleración de la gravedad y$\rho$es la densidad del líquido.

Creo que si el borde del vaso tiene una sección transversal semicircular, esto dará la altura máxima del líquido sobre el vaso y se aplicará cuando el borde del líquido esté en la parte superior del borde, es decir, el punto donde el vaso superficie es horizontal.

Me he estado golpeando la cabeza contra esto todo el día, sin llegar a una respuesta final real, pero obtuve algunos avances...

A través del límite aire-líquido hay una diferencia de presión dada por la ecuación de Young-Laplace :

$$\Delta p = 2 \gamma K_m,$$

dónde$K_m$es la curvatura media de la superficie. Suponiendo que la interfaz es una superficie de revolución,$z = z(x)$, con$x$la coordenada radial, la curvatura media resulta ser:

$$K_m = -\frac{1}{2\sqrt{1+z'^2}}(\frac{z'}{x}+\frac{z''}{1+z'^2}).$$

Por supuesto, esto es muy intratable, por lo que generalmente espera que la pendiente$z'$ser pequeño, para que$z'^2$es insignificante, por lo que puede salirse con la aproximación mucho más simple

$$K_m \approx -\frac{1}{2}(\frac{z'}{x}+z'').$$

En el lado del aire de la superficie libre, tiene la presión atmosférica constante,$p_0$, mientras que en el otro lado habrá una distribución de presión hidrostática,$p_1-\rho g z$, asi que

$$\Delta p = p_1 - p_0 -\rho g z.$$

En general, la forma de la superficie libre se rige por la ecuación

$$z'' + \frac{z'}{x} -\frac{1}{\lambda^2} z= \frac{p_0 - p_1}{\gamma},$$

dónde$\lambda = \gamma / \rho g$es la longitud del capilar. Ahora, tomando la longitud del capilar como la unidad de distancia, lo anterior se simplifica a

$$z'' + \frac{z'}{x} - z= \frac{p_0 - p_1}{\rho g}.$$

Si el letrero en el$z$arriba donde un más, lo anterior podría convertirse, eligiendo un origen adecuado para z, en una ecuación de orden de Bessel$0$, pero estoy bastante seguro de que el signo es correcto, así que no hubo suerte.

Pero si observa un vaso de agua real lleno hasta el borde, verá que la mayor parte de la flexión de la superficie ocurre cerca del borde, mientras que la región central es mayormente plana. Así que si$z'$solo es grande cuando$x$es mucho mayor, la última ecuación se simplifica a

$$z'' - z= \frac{p_0 - p_1}{\rho g},$$

y si la parte central es perfectamente plana, entonces no habrá diferencia de presión allí, un$p_1=p_0$si el origen de$z$se establece en el nivel del agua en el punto central, por lo que

$$z'' = z,$$

con condiciones de contorno$z(0) = 0$y$z(r)=\tan \alpha$, donde todavía tenemos que averiguar qué$\alpha$es, más sobre esto más adelante.

La solución a la ecuación anterior es

$$z = \tan \alpha \frac{e^x -e^{-x}}{e^r -e^{-r}},$$

y la diferencia entre el punto central y el borde es$\tan \alpha$medido en unidades de longitud capilar, o alternativamente

$$\Delta h = \sqrt{\frac{\gamma }{\rho g}}\tan \alpha.$$

Entonces, ¿qué valor tiene$\alpha$¿tomar? En un recipiente cilíndrico, como indica Paul,$\alpha$es$\pi/2-\theta$, dónde$\theta$es el ángulo de contacto , y el centro del vidrio en realidad está debajo de los bordes. Pero cuando llenas un vaso hasta el borde, la naturaleza redondeada de este comienza a doblar los bordes exteriores del agua, lo que eventualmente hace que$\alpha$. Si suponemos que el contacto está ocurriendo en el punto más alto del borde, entonces$\alpha$es el ángulo de contacto, solo negativo, y el centro será$\sqrt{\gamma / \rho g} \tan \theta$ por encima del borde.

Por supuesto, el agua puede ir más allá del punto más alto del borde, pero no estoy seguro de hasta dónde puede llegar antes de que todo se vuelva inestable y se derrame...

La respuesta está en la tensión superficial. Si uno pone agua en un cilindro uniforme y observa la interfaz aire-agua en el borde donde el agua entra en contacto con el cilindro, verá que el agua sube por el vaso una pequeña cantidad. Esto se debe a que el agua "moja" el cilindro.

Si el agua no moja el cilindro, el agua se hundirá en la pared.

El caso común es la mojadura. En la situación aquí, el cilindro se puede llenar hasta que el agua sea lo suficientemente alta para que el "creep" llegue al borde. Agregar más agua permitirá que el agua "trepe" por el borde.

Entonces, en este caso, la respuesta es que ni siquiera puedes llenar el cilindro.

Por cierto, el "creep" es un efecto capilar. De hecho, ambos son efectos de tensión superficial. Hacer que el radio del cilindro sea grande minimiza el efecto, pero no desaparecerá sin importar cuán grande sea.$r$es.