Generalización de F=mvdvdx=m2ddx(v2)F=mvdvdx=m2ddx(v2)F=mv\frac{dv}{dx}=\frac{m}{2}\frac{d}{dx}(v^2 ) a 3 dimensiones en una notación compacta

Question

Generalización de F=mvdvdx=m2ddx(v2)F=mvdvdx=m2ddx(v2)F=mv\frac{dv}{dx}=\frac{m}{2}\frac{d}{dx}(v^2 ) a 3 dimensiones en una notación compacta

Física
vectores
notación
diferenciación
mecanica-newtoniana

Solidificación

Empezando desde $F=ma=m\frac{dv}{dt}$ , en 1 dimensión, es fácil demostrar que

\begin{matrix} (1) & F = metro v \frac{d v}{d X} = \frac{metro}{2} \frac{d}{d X} (v^{2}) . \end{matrix}

$F=mv\frac{dv}{dx}=\frac{m}{2}\frac{d}{dx}(v^2).\tag{1}$ ¿Podemos generalizar esta fórmula en 3 dimensiones? en 3D,

F = metro \frac{d v}{d t}

$\textbf{F}=m\frac{d\textbf{v}}{dt}$

\begin{matrix} (2) & \Rightarrow F = metro [\frac{\partial v}{\partial X} \dot{X} + \frac{\partial v}{\partial y} \dot{y} + \frac{\partial v}{\partial z} \dot{z}] \end{matrix}

$\Rightarrow \textbf{F}=m\Big[\frac{\partial\textbf{v}}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial\textbf{v}}{\partial y}\dot{y}+\frac{\partial\textbf{v}}{\partial z}\dot{z}\Big]\tag{2}$

¿Es posible escribir (2) en una notación más compacta usando identidades vectoriales?

usuario4552

Si quiere ser súper elegante, puede escribir esto en notación de índice de estilo de relatividad como

F^{a} = m {\dot{r}}^{b} \partial_{b} v^{a}

$F^a=m\dot{r}^b\partial_b v^a$ .

Respuestas (2)

Generalización de F=mvdvdx=m2ddx(v2)F=mvdvdx=m2ddx(v2)F=mv\frac{dv}{dx}=\frac{m}{2}\frac{d}{dx}(v^2 ) a 3 dimensiones en una notación compacta

Si quiere ser súper elegante, puede escribir esto en notación de índice de estilo de relatividad como $F^a=m\dot{r}^b\partial_b v^a$ .

DanielC · Answer 1

¿No está escrito esto en hidrodinámica como

\vec{F} = metro (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v}

$\vec{F} = m \left (\vec {v}\cdot\nabla\right)\vec{v}$ ?

Si eso es correcto. Y luego puedes reescribirlo a 1/2 grad (v^2) + (curl v) xv (con 'x' el producto cruzado). Esto es probablemente lo más cercano posible en 3D a la pregunta original.
Esto realmente no responde la pregunta. ¿Eh? Responde la pregunta.

Señor O · Answer 2

Desafortunadamente, no (por lo que sé). En dimensiones más altas la $v\frac{\partial{v}}{\partial{x}}$ el término es reemplazado por términos como $v_y\frac{\partial{v_x}}{\partial{y}}$

Por ejemplo, puede ver que la componente x de la fuerza es

$F_x = m \left( \frac{\partial{v_x}}{\partial{x}}v_{x} + \frac{\partial{v_x}}{\partial{y}}v_{y} + \frac{\partial{v_x}}{\partial{z}}v_{z} \right )$

Sin embargo, podrías escribir esto en forma de matriz.

Generalización de F=mvdvdx=m2ddx(v2)F=mvdvdx=m2ddx(v2)F=mv\frac{dv}{dx}=\frac{m}{2}\frac{d}{dx}(v^2 ) a 3 dimensiones en una notación compacta

Solidificación

usuario4552

Respuestas (2)

DanielC

lalala

usuario4552

Señor O

¿Es Del (o Nabla) un operador o un vector?

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