Fuerza para detener una cuerda en movimiento vs presión de estancamiento de un fluido

Su derivación de la fuerza adicional en la escala para la cuerda que cae es incorrecta, ambos casos arrojan los mismos resultados.

Si entiendo bien estás comparando el efecto de una cuerda cayendo sobre una balanza, con la caída similar de un líquido, algo así esquemáticamente:

El problema de su razonamiento está relacionado con una concepción errónea de la presión de estancamiento, que no tiene nada que ver con este problema. Ha utilizado un término de la ecuación de Bernoulli que suele denominarse presión dinámica . La presión de estancamiento es la presión en el interior de cualquier punto de un líquido en condiciones estáticas, y será la presión máxima alcanzable en el interior de un líquido incompresible (ver sitio de Princeton ). Aquí puede argumentar que el líquido ya cayó y dentro del recipiente tiene esta presión, pero en cualquier caso, ninguna de estas presiones es relevante para su problema: la caída del líquido es completamente análoga a la caída de la cuerda, y su derivación debería ser el mismo, usando$\rho$en lugar de$\lambda$.

Aunque las expresiones son engañosamente similares, se refieren a diferentes escenarios.

Ahora, al derivar su expresión, la pista fundamental que indica que lo anterior no es cierto, es que si encuentra el trabajo invertido en detener la cuerda, obtiene$mv_o^2$($v_o$es la velocidad inicial de la cuerda) que es el doble de la energía total (solo cinética) que tenía inicialmente la cuerda.

La cosa es que estás asumiendo que cada porción de cuerda (de masa$\lambda$) se detiene inmediatamente, lo que significa que hay una fuerza de magnitud infinita.

$$F_{\lambda}=-\frac{dp}{dt}= A \delta (t-t_o)$$ dónde $A$es una incógnita constante, $t_o$es el tiempo en que la fuerza $F_{\lambda}$actúa, y el signo negativo es porque la fuerza que detiene la cuerda se opone al movimiento. Podemos encontrar esta constante igualando el impulso involucrado en detener un elemento de cuerda: $$J_{\lambda} = \int_0^{\infty} F_{\lambda} dt = A$$ y sabemos que este impulso tiene que ser igual a la pérdida de cantidad de movimiento $\Delta p_{\lambda} = \lambda \Delta x v_o$, donde la porción de masa del fragmento de cuerda se pone como $\Delta m = \lambda \Delta x$. Por lo tanto tenemos: $$J_{\lambda} = \int_0^{\infty} F_{\lambda} dt = A\int_0^{\infty} \delta (t-t_o) dt = A = \lambda \Delta x v_o$$ Entonces, la expresión adecuada del elemento de fuerza en la escala (opuesto al de la cuerda) es:

$$F_{\lambda}= \Delta m v_o \delta(t-t_o)$$

Algunas notas importantes:

1) Aquí no debemos equivocarnos$\Delta x$en relación con$v_o$, ya que es la longitud de cuerda correspondiente a la masa de cuerda$\Delta m$. Entonces$\Delta t = \frac{\Delta x}{v_o}$no es el tiempo en el que actúa la fuerza (salvo que así lo supongamos, y el problema es otro).

2) Las dimensiones son correctas, teniendo en cuenta que$\delta (t - t_o)$tiene que tener dimensiones de$T^{-1}$desde$\int_0^{\infty} \delta (t-t_o) dt = 1$

3) Aquí no se realiza ningún trabajo mecánico.$\int W dx = 0$ya que no hemos supuesto ningún desplazamiento de la escala. Pero, de hecho, esto tampoco implicaría la deformación de la cuerda y la redistribución del agua dentro del vaso para llenarlo. Entonces, en realidad, la pérdida de energía cinética se ha invertido como el trabajo involucrado en deformar la cuerda (y redistribuir el agua) que, aunque no es evidente para calcular, debería finalmente producir$\frac {m v_o^2}{2}$la energía cinética inicial total.