Fórmula de la velocidad del perihelio en función de la velocidad circular y la excentricidad

Question

Fórmula de la velocidad del perihelio en función de la velocidad circular y la excentricidad

david olmo

Estoy tratando de encontrar fórmulas simples para órbitas que usen una órbita circular particular como estándar para la distancia y la velocidad, y luego hable sobre otras órbitas en referencia a la primera.

Entonces, una forma de variar una órbita es mantener la misma distancia del perihelio, pero cambiar la excentricidad y, por lo tanto, cambiar la velocidad del perihelio.

Sabemos que la forma final de la ecuación debe coincidir con ciertos casos fáciles

(e=excentricidad)

Para órbitas circulares, $e=0$ , nuestra función debe coincidir $v=v_{circular}$

y

Para la velocidad de escape, $e=1$ , nuestra función debe coincidir $v=\sqrt 2 ~v_{circular}$

(usando los subíndices 0 para la órbita de referencia circular, y 1 es perihelio y 2 es afelio).

Para la órbita de referencia, tenemos,

\frac{metro v_{0}^{2}}{r_{0}} = F = \frac{GRAMO METRO metro}{r_{0}^{2}}

$\frac{mv_0^2}{r_0}=F=\frac{GMm}{r_0^2}$

GRAMO METRO = r_{0} v_{0}^{2}

$GM=r_0 v_0^2$

Usando la conservación de la energía, obtenemos

{mi}_{1} = {mi}_{2}

$E_1=E_2$

\frac{1}{2} metro v_{1}^{2} - \frac{GRAMO METRO metro}{r_{1}} = \frac{1}{2} metro v_{2}^{2} - \frac{GRAMO METRO metro}{r_{2}}

$\frac{1}{2} m v_1^2-\frac{GMm}{r_1}=\frac{1}{2} m v_2^2-\frac{GMm}{r_2}$

\frac{1}{2} v_{1}^{2} - \frac{GRAMO METRO}{r_{1}} = \frac{1}{2} v_{2}^{2} - \frac{GRAMO METRO}{r_{2}}

$\frac{1}{2} v_1^2-\frac{GM}{r_1}=\frac{1}{2} v_2^2-\frac{GM}{r_2}$

\frac{1}{2} v_{1}^{2} - \frac{r_{0} v_{0}^{2}}{r_{1}} = \frac{1}{2} v_{2}^{2} - \frac{r_{0} v_{0}^{2}}{r_{2}}

$\frac{1}{2} v_1^2-\frac{r_0 v_0^2}{r_1}=\frac{1}{2} v_2^2-\frac{r_0 v_0^2}{r_2}$

r_{1} = r_{0}

$r_1=r_0$

\frac{1}{2} v_{1}^{2} - v_{0}^{2} = \frac{1}{2} v_{2}^{2} - \frac{r_{1} v_{0}^{2}}{r_{2}}

$\frac{1}{2} v_1^2-v_0^2=\frac{1}{2} v_2^2-\frac{r_1 v_0^2}{r_2}$

Usando la conservación del momento angular, obtenemos

metro r_{1} v_{1} = metro r_{2} v_{2}

$m r_1 v_1=m r_2 v_2$

v_{2} = \frac{r_{1}}{r_{2}} v_{1}

$v_2=\frac{r_1}{r_2} v_1$

\frac{1}{2} v_{1}^{2} - v_{0}^{2} = \frac{1}{2} (\frac{r_{1}}{r_{2}})^{2} v_{1}^{2} - \frac{r_{1} v_{0}^{2}}{r_{2}}

$\frac{1}{2} v_1^2-v_0^2=\frac{1}{2} (\frac{r_1}{r_2})^2 v_1^2-\frac{r_1 v_0^2}{r_2}$

v_{1}^{2} - (\frac{r_{1}}{r_{2}})^{2} v_{1}^{2} = 2 (v_{0}^{2} - \frac{r_{1}}{r_{2}} v_{0}^{2})

$v_1^2-(\frac{r_1}{r_2})^2 v_1^2=2(v_0^2-\frac{r_1}{r_2} v_0^2)$

v_{1}^{2} (1 - (\frac{r_{1}}{r_{2}})^{2}) = 2 v_{0}^{2} (1 - \frac{r_{1}}{r_{2}})

$v_1^2(1-(\frac{r_1}{r_2})^2)=2 v_0^2(1-\frac{r_1}{r_2})$

Así que aquí podemos ver que el álgebra se está atascando. Si divido ambos lados por $1-\frac{r_1}{r_2}$ entonces eso excluye que la fórmula se aplique a cuando $r_1=r_2$ , pero la fórmula que quiero debería aplicarse en ese caso.

Si seguimos adelante y hacemos esta división de todos modos, obtenemos

v_{1}^{2} (1 + \frac{r_{1}}{r_{2}}) = 2 v_{0}^{2}

$v_1^2(1+\frac{r_1}{r_2})=2 v_0^2$

1 + \frac{r_{1}}{r_{2}} = 1 + \frac{1 - mi}{1 + mi} = \frac{2}{1 + mi}

$1+\frac{r_1}{r_2}=1+\frac{1-e}{1+e}=\frac{2}{1+e}$

v_{1}^{2} (\frac{2}{1 + mi}) = 2 v_{0}^{2}

$v_1^2(\frac{2}{1+e})=2 v_0^2$

v = v_{0} \sqrt{1 + mi}

$v=v_0 \sqrt{1+e}$

Lo que coincide con mis casos fáciles en la parte superior. Y así debería ser una muy buena solución.

Pero la derivación aquí excluida $e=0$ , así que estoy preocupado.

¿Algunas ideas?

Respuestas (1)

Fórmula de la velocidad del perihelio en función de la velocidad circular y la excentricidad

marca h · Answer 1

Dos caminos:

Use la conservación del momento angular para decir que $mv_1r_1 = mv_2r_2 \implies v_1 = v_2$ cuando $r_1 = r_2.$ Luego, puedes notar que esto llena la discontinuidad en $v=v_0\sqrt{1+e}$ cuando $e=0.$
Haga un argumento de límite tal que $r_1 \neq r_2$ . A partir de la última ecuación no atascada

v_{1}^{2} (1 - {(\frac{r_{1}}{r_{2}})}^{2}) = 2 v_{0}^{2} (1 - \frac{r_{1}}{r_{2}})

$v_1^2\left(1-\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\right)=2 v_0^2\left(1-\frac{r_1}{r_2}\right)$

v_{1}^{2} = 2 v_{0}^{2} (\frac{1 - \frac{r_{1}}{r_{2}}}{1 - {(\frac{r_{1}}{r_{2}})}^{2}})

$v_1^2=2 v_0^2\left(\frac{1-\frac{r_1}{r_2}}{1-\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2}\right)$

\underset{r_{1} \to r_{2}}{límite} v_{1}^{2} = \underset{r_{1} \to r_{2}}{límite} 2 v_{0}^{2} (\frac{1 - \frac{r_{1}}{r_{2}}}{1 - {(\frac{r_{1}}{r_{2}})}^{2}})

$\lim_{r_1 \to r_2}v_1^2=\lim_{r_1 \to r_2}2 v_0^2\left(\frac{1-\frac{r_1}{r_2}}{1-\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2}\right)$

\underset{r_{1} \to r_{2}}{límite} v_{1}^{2} = \underset{r_{1} \to r_{2}}{límite} 2 v_{0}^{2} (\frac{1}{1 + \frac{r_{1}}{r_{2}}})

$\lim_{r_1 \to r_2}v_1^2=\lim_{r_1 \to r_2}2 v_0^2\left(\frac{1}{1+\frac{r_1}{r_2}}\right)$

\underset{r_{1} \to r_{2}}{límite} v_{1}^{2} = v_{0}^{2}

$\lim_{r_1 \to r_2}v_1^2=v_0^2$

Fórmula de la velocidad del perihelio en función de la velocidad circular y la excentricidad

david olmo

Respuestas (1)

marca h

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