Física detrás del flujo de gas que sale de un globo

1. Sí.
2. Necesitas resolver dos problemas.

Primero, dado el radio natural de la membrana esférica$R_0$(el radio sin tensión en la membrana) y el radio actual de la membrana$R$, módulo de elasticidad de la membrana$E$y la relación de Poisson$\mu$, calcule el esfuerzo de tensión en la membrana. Si consideras un cuadrado infinitesimalmente pequeño (con el lado de$\delta l_0$) de la membrana esférica sin tensión con espesor$d_0$, actualmente será un cuadrado de lado$\delta l=\delta l_0\frac{R}{R_0}$. El estrés tensional$\sigma$expandirá el cuadrado en dos direcciones. El cálculo de la tensión de tensión de la deformación (usando el módulo de elasticidad y la relación de Poisson, y suponiendo que el material de la membrana es isotrópico) es una tarea estándar, consulte, por ejemplo, https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson%27s_ratio , aunque es posible que desee encontrar una mejor fuente. El valor exacto de la relación de Poisson no es muy importante.

En segundo lugar, dado el esfuerzo de tensión, calcule la presión diferencial en equilibrio. Para hacer esto, considere la condición de equilibrio para la mitad de la membrana esférica:$(p_i-p_o)\pi R^2=2\pi R d\sigma$(asumiendo que la membrana es delgada:$d_0<<R_0$).

Ok, gracias a todos por sus comentarios. Así lo resolví, pero no estoy muy seguro de si mi razonamiento es correcto. ¡Cualquier comentario sería genial!

Buscando materiales sobre la teoría de los recipientes a presión, encontré esto: http://www.colorado.edu/engineering/CAS/courses.d/Structures.d/IAST.Lect05.d/IAST.Lect05.pdf

Al final hay un ejemplo de inflado de globos donde se deriva una expresión que relaciona la presión interna con la dilatación observada en el diámetro.

$\beta =$$D_f\over{D_0}$

Dónde$D_f$es el diámetro final y$D_0$es el diámetro inicial.

La expresión relativa$p_i$y$\beta$depende de$\nu$, la constante de Poisson del material. Asumo$\nu = 0.5$como una buena aproximación para el caucho. Con este valor, obtuve la siguiente expresión:

$p_i =$$8.E.t_0.(\beta-1)+D_0.p_0.(2-\beta^3).\beta\over{D_0.\beta^4}$

Dónde$t_0$es el espesor de la membrana del globo al principio, cuando el globo tiene diámetro$D_0$y presión interna$p_0$.$E$es el módulo de Young para el caucho. Esto es un problema, ya que el caucho presenta una alta no linealidad en su elasticidad. Buscando en la web, decidí aproximar este valor a 1.0MPa (encontré referencias que decían que el látex tiene$E$que varía de 0,5 a 1,1 MPa).

Bueno, la derivación de la fórmula anterior asume que la presión externa es cero. Por eso, asumí que puedo decir$p_i$realmente representa la presión diferencial ($\Delta p=p_i - p_o$) entre las presiones interna y externa que actúan sobre la membrana del globo.

No estoy seguro de que esto sea correcto, pero supongo que lo es, ya que me parece que la presión externa actúa solo como compensación del estado de la presión interna, y la tensión en la membrana del globo depende solo de la tensión causada por la expansión de su diámetro (que será controlada por la presión externa pero no se verá afectada en términos de valor por ella).

Dicho esto, estipulé valores para las variables de la siguiente manera:

$E = 1.0MPa$

$t_0 = 300um$

En las especificaciones del globo que voy a utilizar, dicen que el diámetro apenas inflado es de 1,44m. Supuse que este sería mi$D_0$, lo que significa$p_0 = 0$(ya que apenas está inflado).

Quería saber la capacidad de flujo en el momento cercano al estallido. Las especificaciones me dieron el diámetro al reventar: 9,10 m. Elegí esto como mi$D_f$. Entonces, obtuve$\beta = 6.25$.

Resolviendo la ecuación, tengo$\Delta p= 5.73Pa$. Esa sería la presión con la que la membrana del globo comprimiría el helio de su interior. Me puede dar una estimación del flujo en estas condiciones extremas.

Bueno, con la presión diferencial, apliqué el principio de Bernoulli para estimar la velocidad del gas si abría una válvula. Sé que las condiciones en las que se encuentra el gas pueden hacer que Bernoulli simplemente no funcione, pero al menos puedo obtener un valor aproximado en el que pensar.

Del principio de Bernoulli, considerando despreciable la energía potencial asociada a la altura:

$p_i + 0.5\rho v_i^2 = p_o + 0.5\rho v_o^2$

Dónde$i$el subíndice denota las variables en el lado interno del globo y$o$el externo.$v_i$es la velocidad dentro del globo, relativa a su membrana. Supongo que es cero. Reorganizar y sustituir$p_i - p_o = \Delta p$:

$v_o = \sqrt{2\Delta p \over{\rho_{he}}}$

Sé que el volumen al estallar es$4\over 3$$\pi (D_f/2)^3 = 394.6m^3$y sé por las condiciones iniciales que la masa total de helio era de aproximadamente 0,49 kg (del volumen inicial de$3m^3$y desidad de$0.1634 Kg/m^3$). Suponiendo que no haya fugas de helio durante todo el vuelo, en el momento de la ráfaga la densidad del helio será:

$\rho_{he} =$$0.49\over{394.6}$$= 0.00124 kg/m^3$

Con este valor, tengo$v_o = 96.1 m/s$, que es un valor muy grande.

Suponiendo que el cuello del globo tiene un diámetro de 3 cm (lo tiene) y que el gas puede fluir libremente a través de él, estimé el flujo:

$A_{neck} = \pi.(0.015m)^2 = 7.07 x 10^{-4} m^2$

$q = A.v_o = 0.0679 m^3/s = 67.9 L/s$

Eso es un flujo muy ALTO. Para los resultados sobre la velocidad y el flujo, supongo que debo haber hecho algo mal. Quizás simplemente simplifiqué demasiado las cosas. O tal vez está cerca de corregir, y esto sería una buena noticia, ya que podría reducir el diámetro del cuello usando una válvula de mi deseo. De todos modos, reconozco que este problema es mucho más complejo de lo que se describe aquí. Por ejemplo, estos valores serían verdaderos solo para el momento en que abrí la válvula. Para ver la dinámica completa, necesitaría usar ecuaciones diferenciales ya que el diámetro, el volumen y la presión cambian con el tiempo, modificando todo lo demás. Solo quería tener una idea de cuánto flujo podría obtener.

¿Alguien tiene alguna idea sobre esta resolución? ¿Puedo confiar en él, aunque sea apenas? Tengo la sensación de que pude haber hecho algo muy estúpido. :/