Hay un truco realmente increíble para problemas como este. Esta va a ser una publicación larga, pero el método presentado hace que problemas como este sean realmente fáciles.

La idea es convertir la rama de la serie$C_2$,$R_2$en un paralelo efectivo$R$y$C$. Vea el diagrama. Los valores paralelos efectivos se denotan$C_{2,p}$y$R_{2,p}$. Las capacitancias paralelas solo se suman, por lo que la capacitancia total ahora es$C+C_{2,p}$. Las resistencias en paralelo se suman en paralelo, por lo que la resistencia total ahora es$R||R_{2,p} = \left( 1/R + 1/R_{2,p} \right)^{-1}$. Dado que ahora tenemos un circuito puramente paralelo, puede incluir estos valores en su fórmula para$Q$(lo cual estaba mal en el OP, por cierto, pero lo edité).

Por supuesto, para hacer algo de esto, tenemos que entender cómo resolver para$R_{2,p}$y$C_{2,p}$.

Antes de hacerlo, quiero simplificar algo de notación. Es muy útil para definir$Z_{LC} = \sqrt{L/C}$. Esta es la "impedancia característica" de un modo resonante, y aparecerá por todas partes. Con esta definición, la ecuación para la$Q$de un paralelo$RLC$resonador es

$$Q = R/Z_{LC}$$ que es muy fácil de recordar: si $R\rightarrow \infty$entonces no fluye corriente a través de la resistencia, por lo que no hay pérdida de energía, y como podemos ver $Q\rightarrow \infty$.

Equivalencia serie/paralelo

Supongamos que tenemos una resistencia en serie$R_s$y reactancia$X_s$. La impedancia total en serie es

$$Z_s = R_s + i X_s .$$ Queremos encontrar el circuito paralelo equivalente. La impedancia de una resistencia en paralelo. $R_p$y reactancia $X_p$es $$Z_p = \frac{iR_pX_p}{R_p + iX_p} = \frac{R_pX_p^2 + iR_p^2X_p}{R_p^2 + X_p^2}$$ Ahora defina un nuevo símbolo $Q_p \equiv R_p/X_p$. Usando esto podemos reescribir $Z_p$como $$Z_p = \frac{R_p}{1+Q_p^2} + iX_p \frac{Q_p^2}{1+Q_p^2}.$$ Dado que esto ahora es solo una suma de un número real y un número imaginario, es obvio cuáles son los valores de la serie equivalente: $$R_s = R_p \frac{1}{1+Q_p^2} \qquad X_s = X_p\frac{Q_p^2}{1+Q_p^2} . \qquad (*)$$ Desafortunadamente, hemos resuelto el problema en la dirección equivocada: encontramos valores de serie en términos de paralelos en lugar de al revés. Para resolver este problema, defina $Q_s \equiv X_s/R_s$, y dividir las dos ecuaciones en $(*)$unos por otros para encontrar $$Q_s = Q_p .$$ Ahora podemos invertir fácilmente $(*)$encontrar $$R_p = R_s(1 + Q^2) \qquad X_p = \frac{1 + Q^2}{Q^2} X_s$$ donde ahora escribimos $Q$en lugar de $Q_s$o $Q_p$porque acabamos de demostrar que son iguales. Ahora tenemos los valores paralelos en términos de los valores de la serie. La mejor parte es que casi siempre cuando tienes un circuito como el de la publicación original, tienes $Q \gg 1$, que simplifica considerablemente las ecuaciones de transformación a $$R_p \approx R_s Q^2 \qquad X_p \approx X_s .$$ El mensaje final es que la resistencia paralela equivalente se transforma en un valor mucho mayor, y la reactancia equivalente es básicamente la misma que el valor en serie.

Resolver el problema original

En el problema original tenemos

$$\begin{align} R_s &= R_2 \\ X_s &= \frac{1}{\omega C_2} \\ Q_e &= \frac{X_s}{R_s} = \frac{1}{\omega C_2 R_2}. \end{align}$$ donde he escrito $Q_e$para indicar que este es el $Q$del circuito "externo". Los valores paralelos equivalentes son $$\begin{align} R_{2,p} &\approx R_2 Q_e^2 \\ X_p &\approx X_s \rightarrow C_{2,p} \approx C_2 \end{align}$$ Ahora tenemos un nuevo circuito totalmente paralelo con $$\begin{align} \text{resistance} &= R||R_{2,p} \\ \text{capacitance} &= C + C_{2,p} \approx C \qquad \text{assuming }C \gg C_2 \\ \text{inductance} &= L \end{align}$$ El $Q$del circuito es $$\begin{align} Q &= \text{resistance} / Z_{LC} \\ &= \left(\frac{1}{R} + \frac{1}{R_2 Q_e^2} \right) ^{-1} / Z_{LC} \\ \frac{1}{Q} &= \frac{Z_{LC}}{R} + \frac{Z_{LC}}{Q_e^2 R_2} \\ &= \frac{1}{Q_i} + \frac{1}{Q_c} \end{align}$$ donde hemos definido $Q_i \equiv R / Z_{LC}$cual es el interior $Q$del circuito sin la rama externa en serie, y $Q_c \equiv Q_e^2 R_2 / Z_{LC}$es el adicional $Q$inducida por el acoplamiento . En otras palabras, cuando sumas la rama de la serie, el total $Q$de la resonancia termina siendo una combinación paralela de dos componentes:

1. $Q_i$: El$Q$tendrías sin el acoplamiento a la rama de serie.

2. $Q_c$: El$Q$tendrías si$R$estaban ausentes. Esta parte proviene del acoplamiento a la rama de serie.

Esto es, por supuesto, sólo el resultado del hecho de que$R$y la resistencia paralela efectiva de la rama en serie$R_{2,p}$agregar en paralelo.

Ahora escribimos una expresión útil para$Q_c$. primero escribe

$$Q_e = X_s / R_s = \frac{1}{\omega R_2 C_2} .$$ Como estamos hablando de propiedades cercanas a la resonancia, tomamos $\omega \approx 1/\sqrt{LC}$donación $$Q_e = \frac{\sqrt{LC}}{R_2 C_2}.$$ Entonces para $Q_c$obtenemos $$\begin{align} Q_c &= \frac{Q_e^2 R_2}{Z_{LC}} \\ &= \frac{R_2 L C \sqrt{C}}{R_2^2 C_2^2 \sqrt{L}} \\ &= \frac{Z_{LC}}{R_2}\left( \frac{C}{C_2} \right)^2 . \end{align}$$ El constituye una solución completa al problema.

Resumen

$$\frac{1}{Q} = \frac{1}{Q_i} + \frac{1}{Q_c}$$ dónde $$Q_i = \frac{R}{Z_{LC}}$$ y $$Q_c = \frac{Z_{LC}}{R_2}\left( \frac{C}{C_2}\right)^2.$$ Las aproximaciones hechas aquí son que $C_2 \ll C$y $Q_s \gg 1$. la aproximación $Q_s \gg 1$es bastante bueno para $Q_s>3$.