Factor de dilatación del tiempo para la órbita circular en 3/2 radio de Schwarzschild

Creo que la respuesta anterior de Jerry es incorrecta y que el factor de dilatación del tiempo es realmente cero o infinito dependiendo de cómo lo definas en el radio del fotón. Para permanecer en una órbita circular en el radio de la esfera de fotones, debe moverse a la velocidad de la luz y su tiempo se moverá infinitamente lento en comparación con el tiempo de un observador distante.

La dilatación del tiempo para una órbita circular debe ser$d\tau=dt\sqrt{1-\frac{3GM}{rc 2}}$o$d\tau=dt\sqrt{1-\frac{3M}{r}}$dependiendo de sus unidades.

De la métrica se obtiene:

suponiendo que nos movemos en un plano con$\phi=0$. Interpretación$rd\theta/dt=v$puedes escribir$d\tau=dt\sqrt{1-\frac{2GM}{rc^2}-\frac{v^2}{c^2}}$. La velocidad de un objeto en una órbita circular es la misma en GR que clásicamente (en$t$pero no en$\tau$) para que puedas escribir$v=\sqrt{GM/r}$y llegar a la primera expresión anterior.

El factor de dilatación del tiempo viene dado por$\sqrt{1-\frac{2M}{r}}$, que es decididamente finito para$r=3M$. La última órbita circular estable alrededor de un agujero negro que no gira está en$r=6M$. Si el agujero negro está girando, entonces la estabilidad depende de si el objeto está corrotando o girando en sentido contrario, y las órbitas corrotantes pueden acercarse, pero no tanto como la órbita inestable del fotón.