Expansión térmica de cuerpo sólido y cálculo del trabajo producido

Cuando se calienta una barra, todo el trabajo lo produce la fuente de calor y se dedica a aumentar la energía interna, térmica y elástica de la barra y al calentamiento del aire circundante y otros objetos.

Si la varilla no está mecánicamente restringida, el único trabajo que realiza, o más bien transmite, debido a su expansión es contra la presión atmosférica, pero este trabajo representa una fracción muy pequeña del trabajo total realizado por la fuente, por lo que podría ser descuidado.

Esto se debe a que la presión promedio requerida para expandir una varilla de acero en un 0,1% debería ser (suponiendo un módulo de Young para el acero de$29000000psi$) del orden de$\frac {29000000psi\times 0.001} 2=14500psi$, que es unas 1000 veces mayor que la presión atmosférica,$14.7psi$. Entonces, solo sobre$0.01\%$del trabajo realizado (energía gastada) por la fuente de calor para expandir la varilla pasará al aire.

Si la varilla estuviera mecánicamente restringida, podría pasar una fracción mayor del trabajo o la energía gastada y, dada una carga específica, podríamos calcularla.

Por ejemplo, si la barra estaba soportando un$100kg$masa, su expansión por$1mm$conduciría al aumento de la energía potencial de la masa en$mgh=1J$. Por supuesto, se necesitaría una temperatura más alta y más energía para lograr el mismo$1mm$expansión bajo carga.

La respuesta a la nueva versión del problema que ha planteado es bastante sencilla de obtener. El comportamiento tensión-deformación para un material Hookean linealmente elástico se describe en términos de las tensiones y deformaciones principales mediante las ecuaciones:

$$\epsilon_1-\alpha \Delta T=\frac{\sigma_1-\nu (\sigma_2+\sigma_3)}{E}$$ $$\epsilon_2-\alpha \Delta T=\frac{\sigma_2-\nu (\sigma_1+\sigma_3)}{E}$$ $$\epsilon_3-\alpha \Delta T=\frac{\sigma_3-\nu (\sigma_1+\sigma_2)}{E}$$ dónde $\alpha$es el coeficiente de expansión térmica, $\nu$es la relación de Poisson, E es el módulo de Young, el $\sigma$s son las tensiones principales y las $\epsilon$s son las deformaciones principales (medidas en relación con el estado no deformado de la varilla, cuando está totalmente rodeada de vacío). En nuestro análisis, el subíndice 1 representará la dirección a lo largo del eje de la barra, y los subíndices 2 y 3 representarán las direcciones normales al eje de la barra.

Inicialmente colocamos un peso de F=mg en la barra vertical. En este caso, el esfuerzo axial inicial en la varilla es

$$\sigma_1^i=-\frac{F}{A}$$ mientras que las tensiones iniciales en las otras direcciones principales es cero: $$\sigma_2^i=\sigma_3^i=0$$ Esto da como resultado tensiones iniciales de: $$\epsilon_1^i=-\frac{F}{EA}$$ y $$\epsilon_2^i=\epsilon_3^i=+\frac{\nu F }{EA}$$ A continuación, elevamos la temperatura en $\Delta T$, mientras se mantiene constante la carga F (y por tanto las tensiones). Esto da como resultado los siguientes valores para las deformaciones finales: $$\epsilon_1=-\frac{F}{EA}+\alpha \Delta T$$ y $$\epsilon_2=\epsilon_3=+\frac{\nu F}{EA}+\alpha \Delta T$$ Entonces, los cambios en las deformaciones que resultan del calentamiento de la varilla son todos iguales a $\alpha \Delta T$. Y el trabajo realizado por la barra (al levantar el peso) es solo $$W=Fl_1 \Delta \epsilon_1=Fl_1\alpha \Delta T$$ dónde $l_1$es la longitud de la varilla en la configuración no deformada.

Todo esto es muy similar al trabajo en la expansión isobárica de un gas ideal (aunque, en este caso, la cantidad de deformación es pequeña).

No puede tener una expansión lineal en una sola dirección (digamos, a lo largo del eje de la barra) simplemente diciendo que la tiene. Si la barra no está restringida, se expandirá por igual en todas las direcciones. Por lo tanto, la única forma de asegurarse de que solo se expanda a lo largo de su eje es restringir la expansión en las dos direcciones de espesor.

Si la barra no está restringida, el cambio de volumen será$V_0(3\alpha \Delta T)$, dónde$\alpha$es el coeficiente de expansión lineal. En este caso, si p es la presión alrededor de la barra, entonces el trabajo de expansión realizado será$pV_0(3\alpha \Delta T)$. Si la barra está rodeada de vacío, entonces p = 0 y no se realizará ningún trabajo de expansión.