Expansión de nuevo: ¿de dónde viene la energía?

Conceptualmente hay varias cosas sucediendo aquí.

¿De dónde viene la conservación de la energía? En la comprensión moderna, la energía es la carga de Noether de la simetría de traducción del tiempo, como se encuentra en el primer teorema de Noether. Pero en la relatividad general, la métrica es dinámica, por lo que, en general, simplemente no tenemos ninguna simetría de traducción temporal. Los espaciotiempos estáticos lo hacen, y también hay una forma de conservación de energía para los espaciotiempos que recuperan la traducción temporal simétrica lejos del sistema gravitatorio (por ejemplo, energía ADM de espaciotiempos asintóticamente planos). Pero esas son las excepciones, no la regla.

En otras palabras, en la relatividad general no tenemos ninguna noción escalar de "energía" que sea aplicable globalmente. Vacuamente, no se conserva ni se viola.

Pero ¿qué pasa a nivel local? En un marco inercial local, la energía se conserva exactamente, pero las fuerzas gravitatorias desaparecen exactamente.

Una cosa que puedes hacer en el contexto de la cosmología es ver las ecuaciones de Friedmann como una especie de analogía de la conservación de la energía, haciendo un balance entre los términos que describen la expansión cósmica y la densidad de energía, la presión y la constante cosmológica. Las ecuaciones de Friedmann provienen de los componentes de la ecuación de campo de Einstein que conectan el tensor de curvatura de Einstein y el tensor de tensión-energía:$G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}$. De acuerdo con esta interpretación, la curvatura de Einstein siempre equilibra exactamente la tensión-energía de la materia en el espacio-tiempo. Pero esto es solo una reafirmación de una ley dinámica , por lo que no es realmente una ley de "conservación".

La ecuación de campo de Einstein en sí se puede encontrar a partir de la acción de Einstein-Hilbert, y tratar de aplicar el segundo teorema de Noether simplemente muestra que la derivada covariante del tensor de tensión-energía desaparece:$\nabla_\nu T^{\mu\nu} = 0$, que es análogo a$\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$de electromagnetismo: "no hay fuentes locales o sumideros de [tensión-energía/campo magnético] en ninguna parte". En realidad, esto es trivial, porque la derivada covariante de la curvatura de Einstein siempre se desvanece (un teorema de geometría que carece de física), por lo que el segundo teorema de Noether no nos dijo mucho más de lo que habríamos sabido de otra manera.

Debido a que la derivada es covariante en lugar de parcial, muchas personas tampoco consideran que esta sea una verdadera ley de conservación. Ciertamente, no proporciona información sobre "cuánta" energía hay en el espacio-tiempo; eso aún no está definido.

Así que tenemos los siguientes problemas:

• No hay conservación de energía global en la relatividad general, a excepción de espacios-tiempos muy especiales, y la familia FRW utilizada para los modelos Big Bang no califica.
• En un marco inercial local, la energía se conserva exactamente, pero no hay fuerzas gravitatorias. (De todos modos, los marcos inerciales locales solo existen como aproximaciones de primer orden).
• Se puede interpretar la ecuación de campo de Einstein como la curvatura de Einstein que equilibra exactamente la tensión-energía de la materia, lo que también está motivado por la interpretación de las ecuaciones cosmológicas de Friedmann como un equilibrio entre la expansión cósmica y la energía local, la presión y la constante cosmológica. Sin embargo, esta es en realidad una ley dinámica.
• La desaparición de la derivada covariante de la tensión-energía puede interpretarse como un análogo de la conservación de la energía local, aunque hacerlo es conceptualmente engañoso.

Anexo : Es notable que hay otro sentido en el que la energía total de un universo espacialmente finito es exactamente cero. Intuitivamente, uno puede tratar de medir el contenido dentro de alguna superficie cerrada y luego expandir esa superficie para tratar de encerrar todo en el universo. Sin embargo, para un universo cerrado, esa superficie se contraerá hasta un punto, por lo que no encerrará nada (imagine un círculo alrededor del polo norte de la Tierra y expándalo para tratar de encerrar toda la superficie de la Tierra; simplemente se contrae hasta un punto en el polo Sur).

Más formalmente, uno puede encontrar una secuencia de universos asintóticamente planos (para los cuales, de nuevo, la energía en realidad está definida) que se aproximan a un universo espacialmente finito. En el límite en el que los universos que se aproximan se "pellizcan" y se separan de la región asintóticamente plana (volviéndose así realmente finita), la energía ADM pasa a$0$.

La respuesta totalmente insatisfactoria es: energía oscura . Se cuantifica formalmente por la constante cosmológica .

Hay muchas hipótesis sobre la naturaleza de esta energía. Las explicaciones teóricas cuánticas se consideran candidatas probables; el efecto Casimir es al menos una forma experimentalmente accesible de mostrar la existencia de la energía del vacío .