Existencia de operadores de creación y aniquilación

Si se da la acción, la existencia es obvia (a menos que la definición sea defectuosa). Pero uno normalmente querría verificar que todos los operadores de creación conmutan, todos los operadores de aniquilación conmutan, y el conmutador de un operador de creación y un operador de aniquilación es un número c.

Además, para una teoría de campo, normalmente se desearía verificar que este número c se transforme covariantemente bajo las transformaciones de Poincaré y desaparezca en la separación espacial. Esto se aplica a las teorías de campo libre. Para las teorías de campos interactivos, no hay operadores c/a intrínsecos, ya que sus propiedades son destruidas por la renormalización. Pero se puede asociar (según la teoría de Haag-Ruelle) a cada estado ligado una familia de operadores de creación y aniquilación parametrizados por el momento, que describen el movimiento asintótico libre en un proceso de dispersión.

Proporcionar la acción de un operador sobre los vectores de una base es exactamente lo mismo que "escribirlo", ya que se extiende a todos los demás vectores por linealidad. Esto es lo mismo que escribir la matriz de un operador lineal entre espacios vectoriales. Por lo tanto, los operadores de creación y aniquilación existen automáticamente cuando se definen.

Para una teoría con gap de masa, es suficiente definir los operadores de creación y aniquilación por su acción, pero estos operadores no tendrán propiedades locales en general, no serán la transformada de Fourier de campos que obedecen a la microcausalidad o provienen de una Lagrangiano local.

Cuando las partículas se distribuyen por todo el espacio, no tienen interacción. Su elemento de matriz S es

Donde I es la identidad, también tiene funciones delta que hacen que las k entrantes sean iguales a las k salientes, mientras que A tiene solo una función delta general para la conservación del impulso energético (A podría ser la identidad de algunas de las partículas y no la identidad de otras , pero esto es aún menos funciones delta). Esto significa que dos ondas planas infinitas tienen dispersión de función delta en la dirección de avance, pero solo una distribución uniforme en la dirección de alejamiento. La interpretación es simplemente que a medida que haces que el haz de partículas sea más tenue, el número de colisiones se reduce a cero.

Este argumento falla hasta cierto punto en las teorías divergentes del infrarrojo (como la electrodinámica cuántica), porque es necesario crear un campo no local con cada partícula cargada. En este caso, debe probar la existencia, ya que no está claro que el mismo espacio de Hilbert incluya tanto un estado de cero electrones como un estado de un electrón con un campo de rango infinito (aunque el estado de cero electrones debe contener estados de electrón-positrón que son netamente neutrales y, por lo tanto, tienen un campo de menor alcance).

Pero en cualquier teoría de campo relativista con una brecha de masa, si tiene un vacío y un estado de una partícula, puede definir operadores de creación y aniquilación que crean estados de n partículas (necesariamente sin interacción). Luego puede definir un campo cuántico a partir de estos operadores. Este campo cuántico no tendrá interacciones locales en general, ya que las partículas pueden ser átomos de hidrógeno o piones, no tienen que ser fotones puntuales.

El problema con la construcción de teorías cuánticas de campos es asegurarse de que el campo de las partículas elementales sea local, y esto a veces requiere diferentes grados de libertad, como los quarks, que no son asintóticos. En este caso, no puede definir un operador de creación de quarks, porque el campo fuerte de rango infinito del quark es una cadena de masa infinita, y definitivamente está fuera del espacio de Hilbert de la teoría.