¿Existe una medida de Borel no trivial e invariante a la izquierda (necesariamente no Radon) que no sea un múltiplo constante de Haar?

Question

¿Existe una medida de Borel no trivial e invariante a la izquierda (necesariamente no Radon) que no sea un múltiplo constante de Haar?

Matemáticas
medida de cabello
teoría de la medida
grupos topológicos

usuario nulo

Sé que la medida de Haar en un segundo grupo contable localmente compacto $G$ es único hasta un múltiplo constante.

Es decir, cualquier medida de Radon no trivial e invariante a la izquierda es un múltiplo constante de la medida de Haar.

De manera equivalente (desde el segundo contable), cualquier medida no trivial invariante por la izquierda localmente finita (finita en conjuntos compactos) es un múltiplo constante de la medida de Haar.

¿Es posible que haya una medida de Borel no trivial e invariante por la izquierda ( no localmente finita ) que no sea un múltiplo constante de la medida de Haar?

Respuestas (1)

¿Existe una medida de Borel no trivial e invariante a la izquierda (necesariamente no Radon) que no sea un múltiplo constante de Haar?

tomasz · Answer 1

tomasz

Seguro. Por ejemplo, la medida de conteo es trivialmente invariante y si el grupo no es discreto, no es un múltiplo constante (ni siquiera absolutamente continuo con respecto a) de la medida de Haar.

reencuentros

tomar una secuencia

A_{n} \supset A_{n + 1}

$A_n \supset A_{n+1}$ de barrios de

g = e

$g=e$ tal que

⋂_{n} A_{n} = {e}

$\bigcap_n A_n = \{e\}$ y

μ (A_{n}) \neq 0

$\mu(A_n) \ne 0$ , considere el operador

A_{n} * E = {g \in G, \exists h \in A_{n}, h g \in E}

$A_n \ast E= \{g \in G, \exists h \in A_n, hg \in E\}$ . Creo que tu medida de conteo es

ν (E) = lim_{n \to \infty} \frac{μ (A_{n} * E)}{μ (A_{n})}

$\nu(E) = \lim_{n \to \infty} \displaystyle\frac{\mu(A_n \ast E)}{\mu(A_n)}$ , mientras que la medida de Haar satisface

μ (E) = lim_{n \to \infty} μ (A_{n} * E)

$\mu(E) = \lim_{n \to \infty} \mu(A_n \ast E)$

reencuentros

Ahora viene la pregunta: ¿no es en cierto sentido una definición extendida de "un múltiplo constante de la medida de Haar"?

¿Existe una medida de Borel no trivial e invariante a la izquierda (necesariamente no Radon) que no sea un múltiplo constante de Haar?

usuario nulo

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tomasz

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