¿Qué estructuras causales están ausentes de cualquier parche "agradable" del espacio de Minkowski?

Parece que no nos hace diferenciar entre tiempo pasado (nulo) y tiempo futuro (nulo). Tal vez tenga en mente espacios-tiempos más generales, pero me cuesta imaginar una situación en la que uno pueda distinguir puntos separados similares al tiempo y al espacio, pero no el tiempo pasado y el tiempo futuro. Si a uno se le permitiera diferenciar el futuro y el pasado, entonces tendría un ejemplo simple con tres puntos.

Sin pasado y sin futuro, la configuración mínima imposible se puede hacer con cuatro puntos. Dado que tres puntos cualesquiera que son todos similares a la luz entre sí determinan un rayo nulo, no se pueden tener cuatro puntos ABCD tales que:

A , B y C están separados entre sí como la luz, B , C y D están separados entre sí como la luz, pero A y D están separados como el espacio o el tiempo.

Una "estructura causal" aplicable que involucra 15 eventos puede ilustrarse como un subconjunto de todos los eventos atribuibles a "cinco participantes (convenientemente llamados${\mathcal A}, {\mathcal F}, {\mathcal J}, {\mathcal N}$y${\mathcal U}$), cada uno encontrando pings coincidentes de los otros cuatro".

De los 15 eventos a considerar, cada uno de los cinco participantes comparte en tres eventos:

${\mathcal A}$participa en los eventos A , B y C ,

que son (obviamente se supone que son) pares temporales entre sí, y con una asignación consistente (causal, "agradable") de dirección pasada o futura ; similarmente

${\mathcal F}$participa en los eventos F , G y H ,
${\mathcal J}$participa en los eventos J , K y L ,
${\mathcal N}$participa en los eventos N , P y Q , y
${\mathcal U}$participa en los eventos U , V y W ;

Además:
AG , GC , AK , KC , AP , PC , AV y VC son similares a la luz , FB , BH , FK , KH , FP , PH , FV y VH son similares a la luz , JB , BL , JG , GL , JP , PL , JV y VL son similares a la luz

,
NB , BQ , NG , GQ , NK , KQ , NV y VQ son similares a la luz , y
UB , BW , UG , GW , UK , KW , UP y PW son similares a la luz ;

las separaciones de los diez pares entre los eventos A, F, J, N, U son espaciales ,
las separaciones de los diez pares entre los eventos B, G, K, P, V son espaciales ,
las separaciones de los diez pares entre los los eventos C, H, L, Q, W son similares al espacio , y finalmente

las separaciones de los veinte pares de eventos restantes son cronológicas ;
todo junto con "asignaciones de dirección" consistentes/causales.

Aquí un (boceto de una) prueba de que esta estructura no se puede encontrar en un parche del espacio de Minkowski (incluidas sus "asignaciones de dirección agradables/obvias"):

(1) En una "proyección en un espacio plano (euclidiano) tridimensional" adecuado, pero sin pérdida de generalidad, los eventos G, K, P, V están (se supone que están) situados en la superficie de una esfera, en cuyo centro están (en coincidencia) los eventos A y C , y con el evento B dentro de esta esfera (pero no necesariamente coincidiendo con A y C ). Más

(2) los eventos B, G, K, P están situados en un elipsoide con puntos focales U y W ; y además, a igual distancia de U (y también de W ). En consecuencia , B, G, K, P están situados en un círculo en un plano perpendicular al eje del elipsoide UW , mientras que el evento V está dentro de este elipsoide.

(Del mismo modo, para los eventos B, G, K, V con respecto al eje del elipsoide NQ , etc.)

Sin embargo: si G, K, P están situados en una esfera, y B, G, K, P están situados en un círculo, entonces B está situado también en esa esfera; en contradicción con (1), qed

A su vez, en la medida en que este argumento fallaría en un (o incluso en cualquier) caso que no fuera Minkowski, sin la posibilidad de "una proyección adecuada", la "estructura" descrita tal vez no se descarta, sino que se puede encontrar. presente.

ps Dado que el boceto de la prueba (como noté solo después de escribirlo y enviarlo) ni siquiera menciona explícitamente los seis eventos F, H , J, L y N, Q , la "estructura" entre los nueve los eventos restantes (mencionados explícitamente en el bosquejo de la prueba) parecen suficientes para llevar esta prueba particular de que esta "estructura" no se pudo encontrar en el espacio de Minkowski; por lo tanto aparentemente$n \le 9$.