¿Existe una conexión explícita entre las imágenes de obturador rodante de hélices giratorias y los patrones de interferencia con vórtices ópticos?

Sí, de hecho, hay una conexión. Y, como uno puede imaginar, es geométrico.

Para hacer la conexión, es necesario definir espacios tridimensionales para los dos escenarios. Para los vórtices ópticos, el espacio es simplemente el espacio tridimensional normal, representado por el$x$,$y$y$z$coordenadas, y supondremos que el haz se propaga en el$z$-dirección. El factor de fase del haz de vórtice, que define los frentes de onda (superficies de fase constante), viene dado (en coordenadas cilíndricas) por

$$\psi_{\rm vort} = \exp( i\ell\phi-i k z) ,$$ dónde $\ell$es el orden del vórtice (índice azimutal). Para las cifras de la pregunta anterior $\ell=4$.

Para la hélice giratoria de cuatro palas, uno reemplaza el$z$- Coordinar con el tiempo. El número de álabes asume el papel del índice acimutal$\ell$. En el proceso, asumimos que el espesor de la hélice en su$z$-la dirección es de tal naturaleza que no juega un papel significativo en el patrón observado.

Comenzaremos describiendo primero la situación del vórtice óptico. En tres dimensiones, el frente de onda del haz de vórtice óptico describe una superficie helicoidal (de orden superior): hélice única para vórtice de primer orden; doble hélice para vórtice de segundo orden; Etcétera. Esto se puede expresar por

$$\phi-\frac{k z}{\ell}={\rm constant}.$$ Para observar el patrón de interferencia que se muestra en la figura anterior, es necesario dejar que el haz de vórtice interfiera con otro haz, un haz de referencia, normalmente una onda plana. Las franjas solo aparecerán como en la figura, si esta onda plana está inclinada con respecto al plano de observación, que es perpendicular a la dirección de propagación. (La inclinación debe ser mayor que la mayor inclinación en la superficie helicoidal). De lo contrario, las franjas formarán espirales, que no observamos. Entonces la onda plana tendría la expresión $$\psi_{\rm pw} = \exp[i (k_y y + k_z z)] .$$ Así que ahora los frentes de onda planos de la onda plana cortan los frentes de onda helicoidales del haz de vórtice. Cada punto donde estos dos haces están en fase produce una interferencia constructiva, lo que lleva a una alta intensidad. La imagen de la figura solo muestra el patrón de intensidad de esta interferencia en un plano particular, digamos $z=0$: $${\rm intensity}_{z=0} = |\psi_{\rm vort}+\psi_{\rm pw}|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos( \ell\phi- k_y y) .$$ Así que las franjas se observan para $$\ell\phi- k_y y = {\rm constant} .$$

Ahora para la hélice. Aquí el movimiento de la hélice también produce una hélice en el espacio tridimensional que definimos (donde$z$se reemplaza por tiempo):

$$\phi-\frac{t\omega}{\ell}={\rm constant},$$ dónde $\omega$es la velocidad de rotación. Además, la persiana enrollable define superficies planas en este espacio tridimensional que están inclinadas con respecto a un plano de tiempo constante. $$y + v t={\rm constant},$$ dónde $v$es la velocidad de obturación. Así que esto es exactamente análogo a la onda plana. En la imagen, solo se vería el rojo de la hélice si la apertura del obturador coincidiera con la ubicación de una pala de la hélice. Esto es análogo a la interferencia constructiva entre el frente de onda helicoidal y los frentes de onda planos. Una vez más, solo vemos un fotograma de esta película. Por lo tanto, una porción del espacio tridimensional para un valor fijo de tiempo, digamos en $t=0$(teniendo cuidado de hacer coincidir las dimensiones): $$\ell\phi - \frac{\omega}{v} y = {\rm constant}.$$

Como resultado, los dos escenarios tienen precisamente la misma construcción geométrica, siempre que reemplacemos la dirección de propagación espacial ($z$-dirección) para el haz de vórtice óptico con la dimensión de tiempo en el caso de la hélice.

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^{EDITAR (por Frobenius con el permiso de flippiefanus)}

^{Se produjo una imagen del efecto de persiana enrollable para una hélice giratoria de cuatro palas (con el software GeoGebra, utilizando las herramientas ''Animación activada'' y ''Trazado activado''). En esta imagen (color rojo) superpusieron las curvas de las franjas de la onda del plano de vórtice óptico de interferencia (color azul) de acuerdo con la ecuación anterior.$\:\ell\,\phi\!-\!k_{y}\,y=c\:$, por$\:\ell=4=\text{number of blades}\:$,$\:k_{y}=-10.6\:$y tres valores de la constante c$=0,-6.2,-12.8$.}

^{Nótese que la ecuación anterior en cartesiano$\:x,y−$coordenadas es}

$$x=\dfrac{y}{\tan\left(\dfrac{k_{y}\,y\!+\!c}{\ell}\right)}$$