Estructura causal y global de los diagramas de Penrose

Un diagrama de Penrose de una métrica$g_{ab}$se utiliza para representar la estructura conforme de$g_{ab}$. Generalmente los rayos de luz se mueven a$\frac{\pi}{4}$de la vertical hacia arriba y el espacio-tiempo considerado es simétrico esférico.

la métrica,$\overline{g_{ab}}$, en el diagrama de Penrose satisface:$\overline{g_{ab}}=\Omega^{2} g_{ab}$. Esto implica que los vectores temporales (nulos, espaciales) siguen siendo temporales (nulos, espaciales). A partir de esto, se puede ver que todos los conceptos dados en términos de curvas temporales o curvas nulas como los conjuntos$I^{+}, J^{+}$seguirá siendo el mismo. Así que todo, la estructura causal dada en términos de esos conjuntos será preservada.

El uso más común de los diagramas de Penrose es estudiar el comportamiento en el infinito de los diferentes tipos de geodésicas en espaciostiempos máximamente extendidos. Esa es la razón por la cual los límites conformes$i^{o},i^{+},i^{-}, \cal{I}^{+}$y$\cal{I}^{-}$son una característica tan importante de los diagramas y básicamente representan el 'límite' en el infinito de una determinada clase de geodésicas. Dos espaciotiempos tienen el mismo diagrama si son conformes, lo que implica que su comportamiento en el infinito es el mismo.

Dicho esto, hay información fundamental sobre la estructura global del espacio-tiempo y su causalidad que no está representada, como la incompletitud geodésica (en el sentido de distinguir entre un punto singular a una distancia finita y el infinito) o isometrías. La estructura conforme conserva toda la información sobre ángulos, pero pierde información sobre longitudes.

Para la métrica, su solicitud de este documento podría ser útil.

Mistier C, Taub-NUT space as Counterexample to Almost Everything, Lectures in Math., vol. 8, págs. 160-169.