¿Dos significados de aceleración en campos gravitatorios?

No podemos hablar de que un objeto "no esté acelerando". Solo podemos hablar de un objeto que "no acelera con respecto a un sistema de referencia específico en el que medimos posición y tiempo ". A menudo se evitan frases tan largas para hacer la vida más fácil. Sin embargo, tales intentos de hacer la vida más fácil pueden dar lugar a malentendidos.

Ejemplo: Estás sentado en un auto deportivo y pisas el acelerador. El deportivo acelera con respecto al sistema de referencia de la carretera. También aceleras con respecto al sistema de referencia de la carretera. Sin embargo no aceleras con respecto al asiento del conductor. Es por eso que te quedas en el asiento del conductor (no estás acelerado con respecto al asiento del conductor).

Para describir correctamente el ejemplo de la manzana, primero tenemos que elegir un sistema de referencia. La descripción que haremos dependerá del sistema de referencia y de la teoría física que utilicemos.

Usemos el punto de vista tomado por la relatividad general, ya que es una buena teoría para entender la gravitación. Aquí, la gravitación no se considera una fuerza sino parte de la geometría circundante.

Ahora elijamos el sistema de referencia de una manzana en caída libre. Esta manzana que cae no siente fuerza y ​​no está acelerando WRT al sistema de referencia elegido. La manzana que cae mirará a sus hermanos y hermanas que todavía están unidos al tallo. La manzana dirá: "Mis hermanos y hermanas son empujados hacia arriba por el tallo y es debido a esta fuerza que están acelerando hacia arriba contra mí". En GR, un sistema de referencia de caída libre es un sistema inercial. Entonces, la observación también es consistente con la afirmación de que "la fuerza conduce a la aceleración" solo se aplica en sistemas inerciales.

Ahora elijamos el sistema de referencia de las manzanas que aún están unidas al árbol. Estas manzanas sienten una fuerza de tracción hacia arriba desde el tallo. Se asombran de no estar acelerando hacia el sistema de referencia elegido. Sin embargo, entienden que la ley "la fuerza conduce a la aceleración" solo se aplica en sistemas inerciales. Entonces no ven ninguna inconsistencia, ya que no están en un sistema inercial.

Ahora usemos el punto de vista tomado por la relatividad especial. Aquí, la noción de sistema inercial es diferente y la de gravitación también. La gravitación es ahora una fuerza y ​​un sistema de referencia en caída libre ya no es un sistema inercial. La explicación sigue siendo consistente dentro de la teoría.

Primero elijamos el sistema de referencia de la manzana en caída libre. La manzana recibe la acción de la fuerza gravitatoria. Sin embargo, la manzana no está acelerando. Esto esta bien. En SR, un sistema en caída libre no es un sistema inercial, por lo que no esperamos "sin aceleración = sin fuerza". La manzana no siente fuerza. Esto también está bien, ya que la fuerza gravitatoria se compensa con la fuerza de inercia que se debe a que las observaciones se realizan en un sistema no inercial.

Ahora elijamos el sistema de referencia de las manzanas que aún están unidas al árbol. Este tampoco es un sistema inercial (rotación de la tierra alrededor de su eje, rotación de la tierra alrededor del sol). Sin embargo, para nuestros propósitos podemos despreciar estos efectos, ya que son pequeños. Aquí tenemos un sistema inercial, más o menos. Las manzanas sentadas en el árbol argumentarán: La gravedad actúa sobre nosotros y esto es compensado por las fuerzas del tallo. Por lo tanto, una fuerza neta no actúa sobre nosotros. Sin embargo, sentimos la tensión entre la gravedad y el vástago en nuestros cuellos, pero la fuerza neta es cero. Dado que estamos en un sistema inercial, se aplica el concepto de que sin fuerza neta significa que no hay aceleración con respecto a este sistema. Esto esta bien. La manzana que cae es atraída por la gravedad y acelera en dirección a este sistema de inercia. Esto también está bien.

Lo confuso es: Depende 1) del sistema de referencia elegido y 2) de la teoría elegida, cómo tenemos que razonar. Los argumentos siempre se ven diferentes y los conceptos también. Por ejemplo, en relatividad general, la gravedad no se considera una fuerza. Aún así, en el marco elegido podemos argumentar consistentemente.

Si estamos familiarizados con el concepto de una geodésica en el espacio-tiempo, incluso podemos extender el razonamiento a este escenario. La manzana que cae libremente se mueve sobre una geodésica y no siente fuerza. Las manzanas en el tallo son jaladas por el tallo de la geodésica y sienten una fuerza.

Editar: ya que editó la pregunta, permítame editar la respuesta también. :-)

Un acelerómetro conectado a la manzana en el árbol muestra una lectura de 1 g. Un acelerómetro conectado a la manzana que cae muestra una lectura de 0 g (despreciando el flujo de aire, suponiendo vacío, despreciando la falta de homogeneidad del campo). Experimento divertido: Salta en paracaídas (y lo experimentarás tú mismo).

Permanecer en GR y usar geodésicas: podemos construir un sistema de referencia genérico cuando hablamos de geodésicas. Esto es localmente inercial en el sentido GR. La manzana en caída libre no está acelerada con respecto a este sistema de referencia geodésico (y permanece en la geodésica), no siente fuerza. La manzana del tallo se acelera con respecto a este sistema de referencia geodésico (y por lo tanto se desvía de la geodésica en su movimiento), siente el tirón del tallo (y en este modelo no hay gravedad, ya que se supone que está en la geometría).

La mejor manera de abordar la aceleración en la relatividad especial y general es usar la aceleración de cuatro . Este es un cuadrivector por lo que su norma es una invariante escalar que llamamos aceleración propia . El significado físico de la aceleración adecuada es que es la aceleración que siente un observador en su marco de reposo.

Entonces, por ejemplo, mientras me siento en mi escritorio escribiendo esto, siento una aceleración de$1g$entonces sé que mi aceleración adecuada debe ser$1g$. En mi caso, esta aceleración es el resultado de que el suelo debajo de mí ejerce una fuerza hacia arriba de$mg$sobre mí. Lo mismo se aplica a su manzana, aunque en ese caso la aceleración adecuada de$1g$se debe a la fuerza hacia arriba$mg$aplicado por la rama de la que cuelga la manzana (que supongo que proviene en última instancia del suelo en el que está enraizado el árbol).

Las cuatro aceleraciones vienen dadas por la ecuación:

dónde$x^\alpha$es la posición y$U^\alpha$es la velocidad cuatro. Mira los dos términos en esta ecuación. El primer término parece una doble derivada simple de la posición con el tiempo (aunque es el tiempo propio, no el tiempo coordinado). El segundo término surge de la curvatura. Los objetos$\Gamma^\alpha{}_{\mu\nu}$son los símbolos de Christoffel y describen la curvatura (en mis coordenadas).

Considera la manzana que usaste como ejemplo. En el marco de descanso de la manzana, está estacionario, por lo que$d^2x^\alpha/d\tau^2 = 0$. Eso significa que las cuatro aceleraciones de la manzana están dadas solo por el término de curvatura:

Entonces, la razón por la cual la manzana tiene una aceleración cuatro distinta de cero y, por lo tanto, una aceleración propia distinta de cero, se debe a la curvatura del espacio-tiempo. En el espacio-tiempo plano los coeficientes de Christoffel$\Gamma^\alpha{}_{\mu\nu}$son todos cero y, por lo tanto, las cuatro aceleraciones deben ser cero. Es por eso que la manzana sería ingrávida lejos de cualquier masa donde el espacio-tiempo fuera plano.

Y nuestra ecuación (1) para las cuatro aceleraciones explica claramente el movimiento geodésico y lo que significa ser ingrávido. Si no tiene peso, su aceleración adecuada debe ser cero y, por lo tanto, su cuatro aceleraciones debe ser cero. Si tomamos la ecuación (1) y establecemos$A^\alpha=0$entonces obtenemos:

y esta es la ecuación geodésica, es decir, la trayectoria$\mathbf{x}(\tau)$que resuelve esta ecuación es la que describe el movimiento libre. Cuando el tallo de la manzana se rompe y comienza a caer, su movimiento se describe mediante la ecuación geodésica.

Si está interesado, entraré en más detalles sobre esto en mi respuesta a ¿ Cómo explica el "espacio curvo" la atracción gravitacional? También hay una discusión relacionada en Si la gravedad no es una fuerza, ¿cómo se equilibran las fuerzas en el mundo real?