¿Por qué la tensión en los extremos libres es cero?

Considere una sección muy corta de la cuerda$d\ell$, con masa$dm$. La ecuación de movimiento de este segmento a lo largo de la línea de la cuerda es

Si hay una tensión distinta de cero en la cuerda, podemos trabajar en el límite donde cualquier fuerza gravitatoria$dm\,g$es despreciable. Esta ecuación de movimiento es donde obtenemos la aproximación de que, en una cuerda "sin masa" que no se estira, la tensión en la cuerda es una constante. Si$T_\text{forward} \neq T_\text{backward}$, el enfoque predice que la aceleración$a$crece a medida que el segmento masivo$dm$se vuelve más pequeño

Ahora mire el último segmento de la cuerda, donde la tensión en una dirección está ausente:

La tensión en la cuerda al final debe desaparecer, a menos que el segmento final sea para acelerar.

Bien, aquí está mi opinión sobre la pregunta 2. Ya respondí la pregunta 1 en otra respuesta y normalmente editaría esta respuesta, pero parece haber mucha confusión sobre la tensión y creo que una respuesta separada llamaría mejor la atención sobre el problema. . Tengo 2 puntos principales:

1 - La tensión influirá en la fricción. Hay mucha confusión en muchas de las respuestas e incluso en la pregunta de si la tensión influye o no en la fuerza normal. La confusión surge del hecho de que cuando consideramos una pequeña longitud de cuerda y esta longitud tiende a cero, la componente normal de la tensión tiende a cero, lo que hace que la contribución friccional de la fricción tienda a cero. Sin embargo, cuando la longitud de cada elemento de cuerda tiende a cero, el número de elementos de cuerda que debemos considerar tiende a infinito. Para que se desprecie la tensión, tiene que tender hacia cero más rápido de lo que aumenta el número de elementos. Esta es básicamente una versión de la paradoja de Zeno. Al no sumar una infinidad de aportes muy pequeños, nos estamos defraudando a nosotros mismos.

Para aquellos que no estén convencidos, imagina que tienes una cuerda enrollada en un lazo entre dos varillas paralelas, formando un óvalo. Primero, separe las varillas entre sí solo ligeramente, de modo que haya poca tensión. Puedes mover la cuerda alrededor de las varillas fácilmente. Luego, aplica mucha tensión con las varillas, para que la cuerda quede muy tensa. Le resultará mucho más difícil tirar de la cuerda para moverla en relación con las varillas. Esta es la razón por la que debe tensar las correas utilizadas para transferir energía en aplicaciones industriales y de otro tipo. Si no hay suficiente tensión, la correa patina.

Ahora, uno tendría una tendencia a pensar "pero eso no es lo mismo", esta respuesta habla de longitudes finitas de cinturón, y la aproximación de tensión cero habla de longitudes infinitesimales de cuerda. Esto es cierto, pero ¿cómo aumentará la fricción en el nivel macro si podemos despreciarla en el nivel micro? Esto no es posible. Cada pequeño elemento de cuerda contribuye un poco a la fricción.

2 - Ahora la pregunta es: ¿puedes despreciar la fricción aquí, entendiendo que la única fuerza externa es la gravedad (sin tensión externa)? La respuesta probablemente sea no, a menos que esté buscando una aproximación.

Para ver por qué, imagine un sistema discreto de 3 bloques unidos entre sí por resortes muy rígidos. Por muy rígido, quiero decir que se puede ejercer cualquier tensión entre los bloques sin mover demasiado los bloques, por lo que estos movimientos pueden despreciarse. Esto es similar a una cuerda no estirable. Para modelar una cuerda, también supondremos que los resortes no pueden trabajar en compresión, solo en tensión, siendo la fuerza ejercida por el resorte nula en compresión (con tensión negativa).

Por ejemplo, coloque los bloques en la superficie redonda de la pregunta a 30, 45 y 60 grados con respecto a la horizontal. Primero, imagina que colocas los bloques sin tensión en los resortes, en equilibrio. Seguramente esto es posible si el coeficiente de fricción es lo suficientemente grande. Ahora, agregue un poco de tensión en el resorte de 45 a 60 grados. La tensión cambiará, lo que cambiará la fricción, y todavía estamos en equilibrio. Entonces, la pregunta

Tenemos que encontrar la tensión en función de theta.

No está unívocamente determinado. Supongo que lo que quiere decir es cuál es la tensión en función de theta cuando el coeficiente de fricción es mínimo. Mi suposición de por qué se descuida la tensión en la parte de la pregunta original que causa un problema es que la solución tomó toda la cuerda como una entidad y trató de determinar cuál es la fricción total. El diagrama de cuerpo libre para la cuerda incluiría ingenuamente para cada elemento la fuerza gravitacional, la normal y la fricción, y luego se integra para tener estas fuerzas totales, y dado que la tensión es cero en ambos extremos, nada más. Sin embargo, como se vio anteriormente, la tensión no se puede descuidar de manera tan simple. Esto sería como suponer que si reemplaza la cuerda por una abrazadera, las fuerzas internas en la abrazadera pueden despreciarse. La única forma en que uno podría descuidar la tensión de esta manera, es si la tensión es de alguna manera mucho menor que la gravedad y la fricción en todas partes. Este probablemente no sea el caso al menos en la primera figura. Para la parte de la cuerda que está cerca del punto B, la tensión es del orden de magnitud de la gravedad, ya que ambas fuerzas están cerca de la vertical, por lo que la fricción es despreciable. Sin embargo, si toma un trozo de cuerda que se extiende, digamos, 10 grados desde el punto B, la tensión en el extremo atado estará orientada con respecto a la vertical en 10 grados (y del orden de magnitud del peso del trozo de cuerda), y habrá una fuerza normal debido a esta tensión, que creará algo de fricción, además de las contribuciones de la gravedad. como ambas fuerzas están cerca de la vertical, la fricción es despreciable. Sin embargo, si toma un trozo de cuerda que se extiende, digamos, 10 grados desde el punto B, la tensión en el extremo atado estará orientada con respecto a la vertical en 10 grados (y del orden de magnitud del peso del trozo de cuerda), y habrá una fuerza normal debido a esta tensión, que creará algo de fricción, además de las contribuciones de la gravedad. como ambas fuerzas están cerca de la vertical, la fricción es despreciable. Sin embargo, si toma un trozo de cuerda que se extiende, digamos, 10 grados desde el punto B, la tensión en el extremo atado estará orientada con respecto a la vertical en 10 grados (y del orden de magnitud del peso del trozo de cuerda), y habrá una fuerza normal debido a esta tensión, que creará algo de fricción, además de las contribuciones de la gravedad.

Ingenuamente, uno pensaría que la fricción cerca de B, pero no exactamente en B, sería el doble de la fricción ejercida si se desprecia la tensión. De hecho, la gravedad y la fricción actúan aproximadamente en direcciones opuestas y tienen aproximadamente la misma fuerza absoluta. De hecho, dado que la fuerza normal creada por estas fuerzas es pequeña, lo que determina la fricción, la fricción no puede desempeñar un papel importante en la reducción de la tensión.

En conclusión, sin ver el material original del que se toman las preguntas, y las soluciones originales, decir que la tensión se puede despreciar cuando el cálculo de la fricción es incorrecto. Puede haber algo en el problema original que sugiera que uno debería hacer esto, o la respuesta puede ser simplemente incorrecta. He visto a profesores universitarios cometer errores y he visto errores en los libros de texto.

Para la pregunta 1, comenzamos enumerando las fuerzas que actúan sobre un pequeño tramo de cuerda en su extremo, que llamaré el elemento cuerda. Tenemos la gravedad, la fricción y, si la hay, la tensión. Tenga en cuenta que, dado que estamos al final, solo hay tensión en un lado del elemento de la cuerda. Ahora, si reduce la longitud del elemento de cuerda hacia cero, la fricción y la atracción gravitatoria tenderán a cero. Sin embargo, la tensión es un fenómeno límite, en el extremo atado del elemento de cuerda. La tensión no depende de lo que sucede dentro del elemento de cuerda, solo de lo que sucede en la interfaz entre el elemento de cuerda y el resto de la cuerda. Si la tensión fuera distinta de cero para un elemento de cuerda muy pequeño, el elemento de cuerda aceleraría muy rápidamente ya que la tensión sería la única fuerza ejercida sobre el elemento de cuerda, con una masa muy pequeña, ya que las otras dos fuerzas tienden a cero. La única condición que da como resultado una condición estática es una tensión que tiende a cero al final al menos tan rápido como las otras dos fuerzas (mismo orden en la longitud de la cuerda).

No hay elementos de masa a la izquierda, sin embargo, los que están a la derecha definitivamente ejercerán una fuerza.

Es correcto si suponemos que el rozamiento no es constante. Si casi no hay fricción a la derecha, por lo que el peso debe ser soportado solo por la última parte de la izquierda. Como si estuviera clavado allí.

Pero supongamos que todos los elementos tienen una fuerza de fricción$\Delta F_a = \Delta T - W_t$, (eso significa suficiente fricción para equilibrar la diferencia entre el componente tangencial de peso y la diferencia de tensión en el elemento).

Cuando el análisis llega al último elemento,$\Delta T = T$. El lado libre no tiene nada tirando de él, y el lado interno tiene toda la tensión de esa región. La tensión tiende a cero como consecuencia, al ir a los extremos libres.

Las fuerzas en la reacción perpendicular son Fuerza normal, una componente del peso, y Tdθ

El balance de fuerzas en un elemento debe considerar$\Delta T$y no$T$. Pero está presente solo para la dirección tangencial como se muestra antes.

Perpendicular a la superficie solo hay:$W_N = N$(la componente del peso normal a la superficie se equilibra con la fuerza normal)

Como indica Jain Koustubh, se puede trabajar con un pequeño segmento de cuerda de masa: dm = λR(dθ). Entonces las fuerzas radiales serían: dN – g(dm)sinθ – T(dθ) = 0 y la tangencial dT + df – g(dm)cosθ = 0 donde dN, df y dT son las fuerzas pequeñas Normal, fricción , y la tensión asociada con dm. (La T(dθ) es el cambio radial en el vector T que debe asumirse despreciable para simplificar los cálculos). Creo que podemos suponer que la fricción será proporcional a la fuerza normal: df = u(dN) = ug(dm)sinθ donde u es una constante de proporcionalidad y quizás no el coeficiente estándar de fricción estática que da la fricción máxima permitida. Con esta expresión para la fricción en la ecuación tangencial, se puede resolver para dT y luego integrar desde el extremo inferior para encontrar T como una función del ángulo. Encontré T como una función de θ como se indicó anteriormente, lo igualé a cero en la parte superior y encontré u = 1. Luego configuré una simulación numérica para el boceto 1 (en una hoja de cálculo), trabajando en pasos de medio grado. La simulación estuvo de acuerdo con mis cálculos. Finalmente, modifiqué la simulación para incluir el T(dθ). El resultado fue u = 0.727. Claramente, el T(dθ) no puede ser ignorado. Después de pensarlo más, “ajusté” mi simulación para que pudiera funcionar más allá de los 90 grados (con T(dθ)), puse u = (1/3) y descubrí que la tensión en ambos extremos de los 90 grados arco sería cero si el ángulo del lado izquierdo fuera de 67,8 grados. Sin T(dθ) el ángulo era de 63,7 grados. La simulación estuvo de acuerdo con mis cálculos. Finalmente, modifiqué la simulación para incluir el T(dθ). El resultado fue u = 0.727. Claramente, el T(dθ) no puede ser ignorado. Después de pensarlo más, “ajusté” mi simulación para que pudiera funcionar más allá de los 90 grados (con T(dθ)), puse u = (1/3) y descubrí que la tensión en ambos extremos de los 90 grados arco sería cero si el ángulo del lado izquierdo fuera de 67,8 grados. Sin T(dθ) el ángulo era de 63,7 grados. La simulación estuvo de acuerdo con mis cálculos. Finalmente, modifiqué la simulación para incluir el T(dθ). El resultado fue u = 0,727. Claramente, el T(dθ) no puede ser ignorado. Después de pensarlo más, “ajusté” mi simulación para que pudiera funcionar más allá de los 90 grados (con T(dθ)), puse u = (1/3) y descubrí que la tensión en ambos extremos de los 90 grados arco sería cero si el ángulo del lado izquierdo fuera de 67,8 grados. Sin T(dθ) el ángulo era de 63,7 grados.