Medición del momento y la energía de una partícula libre

Así que medimos algún valor definido de cantidad de movimiento o energía que es un valor propio de la cantidad de movimiento o hamiltoniano (ya que los operadores conmutan por una partícula libre).

El resultado de una medición única puede ser un valor único, pero en el caso de cantidades que tienen un dominio continuo no podemos decir con certeza que este sea el valor real de la cantidad. Con cualquier medida de este tipo, siempre tenemos una incertidumbre del resultado mayor que cero. Esto es inevitable en la práctica, no tenemos medios para medir variables continuas con precisión infinita.

Entonces, en principio colapsaríamos la función de onda a algún estado estacionario$\Psi_k$pero en este caso sabemos que esto no es posible (físicamente realizable).

No es importante aquí si tal proceso es físicamente realizable; esto depende de la interpretación de la teoría. Hay interpretaciones que no consideran que el colapso como resultado de la medición sea un proceso físico en absoluto, independientemente de si el resultado es normalizable.

Lo importante aquí es que no hay una función normalizable que sea función propia del operador de posición (y no hay ninguna que sea función propia del operador de cantidad de movimiento). Por lo tanto, no podemos basar nuestra comprensión de la teoría en tales funciones ficticias. La partícula con posición definida o momento con incertidumbre cero no se puede representar por normalizado$\psi$función.

Entonces, ¿medimos un valor particular del momento con cierta incertidumbre de medición, y la incertidumbre nos da la dispersión de los valores del observable?

Sí, todas las mediciones de la posición o el momento de las partículas tienen una incertidumbre finita, por lo que la probabilidad de que el valor medido sea igual al valor real buscado es 0. Cuando observamos las huellas de partículas de la cámara de burbujas, la huella es delgada pero de ancho finito, lo que limita la incertidumbre de la coordenada de la partícula a una distancia pequeña pero finita. En la práctica, creo que micras en el mejor de los casos.

¿O no medimos nunca un valor particular sino un rango de valores para una medida dada?

Cuando se mide una partícula, generalmente se registra un valor más la incertidumbre. Si se miden muchas partículas, se registran muchos valores e incertidumbres. En cualquier caso, ningún resultado es nunca absolutamente exacto, siempre hay cierta incertidumbre.

$\hat{\cal{P}}(x)=|x\rangle\langle x|$no define un operador de proyección sino lo que se denomina medida de valor de proyección, es decir, proporciona operadores de proyección para alguna región$a<x<b$:

$$\hat{\cal{P}}_{(a,b)}=\int\limits_a^b dx \hat{\cal{P}}(x)=\int\limits_a^b dx |x\rangle\langle x|$$ Actuando $|\psi\rangle$da un estado normalizable.

Esto refleja que no podemos hablar de la probabilidad de medir el valor$x$pero solo densidad de probabilidad$p(x)$y probabilidad de$x$estar en la región$a<x<b$:

$$P(a<x<b)=\int\limits_a^b dx\,p(x)$$ esos son dados por, $$p(x)=\langle\psi|\hat{\cal{P}}(x)|\psi\rangle=\langle\psi|x\rangle\langle x|\psi\rangle=|\psi(x)|^2$$ $$P(a,b)=\langle\psi|\hat{\cal{P}}_{(a,b)}|\psi\rangle=\int\limits_a^b dx\langle\psi|x\rangle\langle x|\psi\rangle=\int\limits_a^b dx|\psi(x)|^2$$

Después de la medida que da$a<x<b$el estado se vuelve normalizable$\hat{\cal{P}}_{(a,b)}|\psi\rangle$o en el lenguaje de las funciones de onda,

$$\hat{\cal{P}}_{(a,b)}\psi(x)=\cases{0,&x<a\\\psi(x),&a<x<b\\0,&x>b}$$

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ACTUALIZACIÓN: creo que es útil hablar un poco sobre la naturaleza del colapso. Si desea tratar el "colapso" como una especie de cambio objetivo del estado, se encontrará con todo tipo de problemas desagradables. El "colapso" de la función de onda aparece cuando consideramos la probabilidad condicional de alguna medida del estado inicial dada alguna medida precedente. Sucede (para medidas proyectivas ideales) que podemos obtener esta probabilidad como probabilidad de una sola medida del estado colapsado,

$$P_\psi\Big(B(t_2)=\beta|A(t_1)=\alpha\Big)=\frac{P_\psi\Big(A(t_1)=\alpha,B(t_2)=\beta\Big)}{P_\psi\Big(A(t_1)=\alpha\Big)}=P_\chi\Big(B(t_2)=\beta\Big)$$ $$|\chi\rangle=\frac{\hat{\cal{P}}_{A(t_2)=\alpha}|\psi\rangle}{\sqrt{\langle\psi|\hat{\cal{P}}_{A(t_1)=\alpha}|\psi\rangle}}$$ Para la medición proyectiva de las variables continuas, aún puede encontrar densidades de probabilidad condicional, pero esta idea de "colapso" no es muy útil. Hay tres formas de aplicarlo, todas las cuales requieren que hable sobre algún margen de error,

1. Permanezcan en el ámbito de la medida idealizada y limítense solo a la discusión de las condiciones.$a<x<b$(véase más arriba)

2. Discretizar la variable, lo que puede ser bueno matemáticamente pero no está muy cerca de las medidas reales

3. Siendo realistas, sus medidas no son ideales y tienen algunas imprecisiones fundamentales. Sin embargo, eso significa que diferentes resultados para valores de$x$no son mutuamente excluyentes. Eso significa que ya no está describiendo su medida con idealizado$x$con sus proyectores ortogonales, sino que utiliza algún POVM que depende del dispositivo de medición que utilice. Luego puede aplicar la idea de colapso al valor singular de$x$pero esto ya no es$\hat{x}$en el sentido de los libros de texto.

Como dije, puedes vivir perfectamente sin entrar en todo eso si solo haces las preguntas correctas. Piense menos en el "colapso" y más en lo que mide en el experimento.