¿Estaba Dirac realmente tratando de sacar la raíz cuadrada del operador de Klein-Gordon?

Uno habla rutinariamente del operador de Dirac como una raíz cuadrada del laplaciano (o dalembertiano, según sea el caso), y el propio Dirac apoya esta heurística en sus Recuerdos de una era emocionante , Historia de la física del siglo XX , Academic Press 1977, pp. .109-146:

Estaba jugando con los tres componentes$\sigma_1, \sigma_2,\sigma_3,$que había usado para describir el espín del electrón, y noté que si formabas la expresión$\sigma_1p_1+\sigma_2p_2+\sigma_3p_3$y lo cuadré,$p_1$,$p_2$y$p_3$siendo los tres componentes del impulso, solo tienes$\smash{p_1^2+p_2^2+p_3^2}$, el cuadrado de la cantidad de movimiento ( ¹ ). Este fue un resultado bastante matemático. Estaba bastante emocionado por eso. Parecía que debía tener alguna importancia. (...)

De repente me di cuenta de que no había necesidad de ceñirme a las cantidades.$\sigma$, que se puede representar mediante matrices con solo dos filas y columnas. ¿Por qué no pasar a cuatro filas y columnas? Matemáticamente no había ninguna objeción a esto en absoluto. Reemplazo de la$\sigma$-matrices por matrices de cuatro filas y columnas, se podría sacar fácilmente la raíz cuadrada de la suma de cuatro cuadrados , o incluso cinco cuadrados si se quisiera.

En consecuencia, como estoy seguro es bien sabido, en The Principles of Quantum Mechanics (4th ed., §67; sería interesante comparar el primero de 1930, que no puedo encontrar en línea) comienza con “el hamiltoniano relativista [que] conduce a la ecuación de onda

$$\{p_0 - (m^2c^2+p_1^2+p_2^2+p_3^2)^{\frac12}\}\psi=0, \tag5$$ donde el $p$'s se interpretan como operadores de acuerdo con [ $p_\mu=i\hbar\partial/\partial x^\mu$]”, luego se multiplica por el conjugado para obtener $$\{p_0^2 - m^2c^2-p_1^2-p_2^2-p_3^2\}\psi=0, \tag6$$ y luego busca "una ecuación de onda que es lineal en $p_0$y eso es más o menos equivalente a (6)” en la forma $$\{p_0 - \alpha_1p_1-\alpha_2p_2-\alpha_3p_3 -\beta\}\psi=0, \tag7$$ lo que precisamente lo lleva al problema de la “raíz cuadrada de la suma de cuatro cuadrados”.

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( ¹ ) Una identidad encontrada explícitamente, con $p_r=-i\partial/\partial x_r$, en el documento de 1928 que cita (parte inferior de la p. 618, caso$\mathbf A=0$).

Editar: la primera edición de Dirac (1930) ahora está en línea, y su §74 ya tiene exactamente el mismo desarrollo que el anterior (pero con diferencias mínimas en la notación).

Dirac fue un matemático sobre todo al que le gustaba la belleza de las matemáticas. Esta es una de las razones por las que objetó la fealdad de las teorías de renormalización. Deberías leer Pretty Mathematics International Journal of Theoretical Physics, vol. 21, Nos. 8//9, 1982 , donde esencialmente explica que estaba jugando con matrices 2X2, citándolo

La ecuación de onda resultante para el electrón resultó ser muy exitosa. Condujo a valores correctos para el espín y el momento magnético. Esto fue bastante inesperado. Todo el trabajo siguió a un estudio de matemáticas bonitas, sin pensar en estas propiedades físicas del electrón.

Sin embargo, tales documentos son ignorados en gran medida por los físicos en el campo.