Espacio de estado de la mecánica cuántica

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Espacio de estado de la mecánica cuántica

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En Mecánica Cuántica, a menudo se trata de funciones de onda de partículas. En ese caso, es natural considerar como el espacio de estados el espacio $L^2(\mathbb{R}^3)$ . Por otro lado, en el libro que estoy leyendo, hay una construcción que es bastante elegante y general, sin embargo no es rigurosa. Para aquellos interesados en ver el libro, es "Mecánica cuántica" de Cohen-Tannoudji.

El libro procede de la siguiente manera: el primer postulado de la Mecánica Cuántica establece que para cada sistema cuántico existe un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ cuyos elementos describen los posibles estados del sistema. La idea entonces es que $\mathcal{H}$ no necesariamente es un espacio de funciones.

De hecho, Cohen define (o no define) $\mathcal{H}$ como el espacio de kets $|\psi\rangle\in \mathcal{H}$ , siendo los kets simples vectores que codifican los estados del sistema.

El segundo postulado establece que para cada cantidad físicamente observable hay asociado un operador hermitiano $A$ tal que los únicos valores posibles a medir son los valores propios de $A$ y tal que

Si $A$ tiene espectro discreto $\{|\psi_n\rangle : n \in \mathbb{N}\}$ entonces la probabilidad de medir el valor propio $a_n$ sobre el estado $|\psi\rangle$ es $\langle \psi_n | \psi\rangle$ teniendo en cuenta que $|\psi\rangle$ está normalizado.
Si $A$ tiene espectro continuo $\{|\psi_{\lambda}\rangle : \lambda \in \Lambda\}$ entonces la densidad de probabilidad en el estado $|\psi\rangle$ para los valores propios posibles es $\lambda \mapsto \langle \psi_\lambda | \psi\rangle$

Si, por ejemplo, el operador de posición $X$ para partícula en una dimensión, existe, y si sus vectores propios son $|x\rangle$ con valores propios $x$ , para cada $x\in \mathbb{R}$ , la densidad de probabilidad de la posición es $\langle x |\psi\rangle$ que es una función $\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ y recuperamos la función de onda.

Esta formulación, sin embargo, parece ser más general. En ese caso, la función de onda es solo la información sobre un posible tipo de medida que podemos obtener de los postulados. No hay nada especial con eso.

Ahora bien, aunque bastante elegante y simple, esto no es ni un poco riguroso. Por ejemplo: ¡el operador de posición no ha sido definido! Es solo "el operador asociado a la posición con espectro continuo", pero esto no define al operador. En el libro, se define sobre la base $\{|x\rangle\}$ , pero este conjunto se define en términos de él, por lo que obtenemos circular.

Otro problema es que generalmente estamos tratando con operadores ilimitados que no están definidos en la totalidad de $\mathcal{H}$ . Y un problema aún mayor es que $\mathcal{H}$ ¡nunca se definió!

Estuve esperando descubrir cómo hacer esto riguroso, pero no pude encontrar nada útil. Muchas personas simplemente dicen que la forma correcta es considerar siempre $L^2(\mathbb{R}^3)$ , por lo que toda esta charla es una tontería. Pero no estoy de acuerdo, me parece bastante natural considerar esta versión generalizada.

Lo único que encontré fue la idea de los espacios amañados de Hilbert, conocidos también como Gel'fand triple. No encontré mucho material al respecto, pero de todos modos, no entendí cómo se puede usar para hacer esto riguroso.

En ese caso, ¿cómo hacer que esta idea de espacio de estados, o espacio de kets, sea completamente rigurosa, superando los problemas que encontré y posiblemente otros que puedan existir? ¿Es a través del triple Gel'fand? Si es así, ¿Cómo se hace?

Pauca inteligente

Puede encontrar algo útil aquí: science.unitn.it/%7Emoretti/Zaragoza-Lectures.pdf

Pauca inteligente

Otro par de comentarios, aunque estoy bastante oxidado en esas cosas. No existe un solo

H

$\mathcal{H}$ , por eso no encontraste su definición. Puede decidir qué espacio de Hilbert emplear según sus necesidades. Un ejemplo: si eliges

H = L^{2} (R^{3})

$\mathcal{H}=L^2(\mathbb{R}^3)$ con coordenadas que representan la posición de una partícula, entonces el operador de posición simplemente corresponde a la multiplicación por

x

$x$ mientras que el operador de cantidad de movimiento viene dado por

\partial / \partial x

$\partial/\partial x$ (veces una constante). Pero puedes elegir en su lugar otro espacio donde el momento sea una multiplicación y la posición una derivada.

vcl

Los diferentes puntos de vista son en realidad esencialmente uno y el mismo. Cualquiera que sea el espacio de Hilbert, desea que la "función de onda" (un vector en este espacio) sea integrable al cuadrado. Esto debido a que la probabilidad total debe ser finita (de hecho una). Para un espacio de Hilbert de dimensión finta, esto no impone ninguna restricción: cualquier vector es "integrable al cuadrado" (la suma de los módulos cuadrados de cada componente es finita). Para un espacio funcional en, por ejemplo,

R^{3}

$\mathbb{R}^3$ , esto define

L^{2} (R^{3})

$L^2(\mathbb{R}^3)$ . La probabilidad de encontrar la partícula en cualquier parte del espacio es uno.

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Espacio de estado de la mecánica cuántica

Puede encontrar algo útil aquí: science.unitn.it/%7Emoretti/Zaragoza-Lectures.pdf
Otro par de comentarios, aunque estoy bastante oxidado en esas cosas. No existe un solo $\mathcal{H}$ , por eso no encontraste su definición. Puede decidir qué espacio de Hilbert emplear según sus necesidades. Un ejemplo: si eliges $\mathcal{H}=L^2(\mathbb{R}^3)$ con coordenadas que representan la posición de una partícula, entonces el operador de posición simplemente corresponde a la multiplicación por $x$ mientras que el operador de cantidad de movimiento viene dado por $\partial/\partial x$ (veces una constante). Pero puedes elegir en su lugar otro espacio donde el momento sea una multiplicación y la posición una derivada.
Los diferentes puntos de vista son en realidad esencialmente uno y el mismo. Cualquiera que sea el espacio de Hilbert, desea que la "función de onda" (un vector en este espacio) sea integrable al cuadrado. Esto debido a que la probabilidad total debe ser finita (de hecho una). Para un espacio de Hilbert de dimensión finta, esto no impone ninguna restricción: cualquier vector es "integrable al cuadrado" (la suma de los módulos cuadrados de cada componente es finita). Para un espacio funcional en, por ejemplo, $\mathbb{R}^3$ , esto define $L^2(\mathbb{R}^3)$ . La probabilidad de encontrar la partícula en cualquier parte del espacio es uno.

usuario91126 · Answer 1

Primera observación . Los postulados de QM establecen que el espacio de Hilbert es separable . Recuerde que el teorema de Riesz-Fischer asegura que los espacios de Hilber separables sean todos isométricamente isomórficos, por lo que realmente no importa cuál elija hasta que esté hablando de la teoría general. En realizaciones concretas, obviamente es útil elegir el Hilbert que mejor refleje las propiedades del sistema.

Segunda observación . Los postulados de QM no dicen ni pueden decir cómo se hacen los operadores en situaciones específicas. Este es un hecho experimental. Solo dicen que estos deben ser operadores lineales (generalmente ilimitados) en $\mathcal H$ , autoadjunto (¡no simplemente hermitiano!) si representa observables (es decir, cantidades que pueden medirse realmente en el sistema). Es una consecuencia de la estructura no conmutativa de los observables. $C^*$ -álgebra que existen pares de observables incompatibles . (Esto lleva al principio de Heisenberg.) ¿Quién dice cómo se hacen los operadores? Esta es una prerrogativa del procedimiento de cuantificación . Tal procedimiento establece una correspondencia entre observables clásicos y cuánticos, precisando la idea intuitiva de Dirac. En un sentido preciso ( teorema de Groenewold ), no existe un procedimiento de cuantización "universal" (nuevamente, los observables son experimentales). Uno requiere que $X$ y $P$ debe implementarse uno como operador de multiplicación y el otro como operador diferencial (cuál es una cuestión de gusto, lo que lleva a la llamada representación x y representación p ), continua y esencialmente autoadjunta cuando se considera en forma rápidamente decreciente funciones, autoadjuntas (no ambas acotadas) cuando se consideran en un dominio máximo de $L^2$ , satisfaciendo las reglas canónicas de conmutación. [Para cantidades que no tienen una contraparte clásica, como el espín, la forma real se induce extrapolando mediante propiedades algebraicas de datos experimentales, como reglas de conmutación, espectros, etc.]

Tercer comentario . Las funciones de onda son un tipo de estado muy peculiar. $\mathcal H$ tiene muchos otros elementos más. Precisamente, deja $\mathcal A$ ser el $C^*$ -álgebra del sistema físico. El teorema de Gleason establece una correspondencia 1-1 entre operadores de clase traza en $\mathcal A$ y los rayos de un espacio proyectivo de Hilbert $\mathcal H$ . Las llamadas funciones de onda están asociadas a los proyectores de la forma $(\psi, \, ) \psi$ (los corchetes representan el producto escalar en $\mathcal H$ , $\psi \in \mathcal H$ .). Los físicos se refieren a $\psi$ como la función de onda y esto es engañoso y, estrictamente hablando, incorrecto.

La construcción Gel'fand triple y Gel'fand-Naimark-Segal (GNS) constituyen una forma de obtener automáticamente el espacio de Hilbert correcto para el sistema. Sin embargo, no es algo que pueda esperar encontrar en un libro de texto de QM para físicos, ya que el aparato matemático de QM es tan fuerte que generalmente uno puede olvidar los detalles técnicos, darse cuenta "canónicamente" del espacio de Hilbert y los observables y realizar cálculos reales. que son las únicas cosas importantes en la física.

Si te interesa la última parte, puedes ver

[1] Bogolioubov (et alii), Teoría cuántica axiomática de campos

[2] Lansdmann, Temas matemáticos entre la mecánica clásica y la cuántica

[3] Dixmier, $C^*$ -álgebras (sin aplicaciones a QM)

"Los físicos se refieren a $\psi$ como la función de onda y esto es engañoso y, estrictamente hablando, incorrecto." ¿Cómo puede ser incorrecta una definición?

Notas al pie de física · Answer 2

Hay dos formalismos de Hilbert Space matemáticamente rigurosos (y bastante generales) que podría estar buscando. Ambos pueden verse como intentos de salvar el motor del algoritmo bra-ket original de Dirac, evitando al mismo tiempo sus vergüenzas matemáticas.

El primero , creado por von Neumann, reemplaza los kets de Dirac por vectores en un espacio abstracto de Hilbert. $\mathscr{H}$ , y reemplaza sus transformaciones con operadores lineales en este espacio. Para evitar la necesidad de las (in)famosas funciones delta de Dirac, von Neumann rechaza el estatus fundamental de los vectores propios en la Mecánica Cuántica. En cambio, el jugador central en el juego de von Neumann es la descomposición espectral (específicamente, de operadores autoadjuntos, aunque esto puede generalizarse). Este enfoque se reduce a vectores propios y valores propios cuando los operadores son de dimensión finita (o, en el caso de dimensión infinita, compacto ), pero maneja el caso continuo sin pestañear.

Al final, sin embargo, los físicos se mostraron reacios a abandonar el formalismo altamente intuitivo basado en vectores propios de Dirac, y definitivamente no querían jugar con todas las sutilezas de los dominios de operadores inherentes al enfoque de von Neumann.

Y es por eso que el siguiente compañero entró en la refriega...

El segundo , creado por Gelfand et al, intenta preservar más del legado de Dirac, al tiempo que se desvía lo menos posible del Espacio Hilbert de von Neumann. Concretamente, proceden partiendo de un Espacio de Hilbert $\mathscr{H}$ y luego construir dos espacios auxiliares a partir de él. Primero un denso espacio interior $\Phi$ , y luego un espacio exterior $\Phi^*$ (siendo el dual del espacio interior). En conjunto, este marco se conoce como Rigged Hilbert Space o Gelfand Triple :

Φ \subset H \subset Φ^{*}

$\Phi\subset\mathscr{H}\subset\Phi^*$

Muy brevemente, las razones por las que hacen esto son:

el espacio interior $\Phi$ admite el álgebra de operadores sin toda la molestia de los dominios inherentes al enfoque de von Neumann.
El espectro continuo se puede manejar de una manera rigurosa de vector propio-valor propio porque las 'funciones' delta de Dirackian, que no viven en el espacio de Hilbert, se pueden encontrar en el dual $\Phi^*$ (técnicamente, como distribuciones en lugar de funciones).

¿Dónde deja esto al pobre físico matemático con un deseo de rigor?

Bueno, la verdad es que nadie usa realmente los triples de Gelfand. ¡Solo para construir un triple necesitas construir una secuencia infinita de topologías! No solo eso, sino que toda la construcción depende de la forma específica del hamiltoniano, por lo que no es tan general como el enfoque de von Neumann. (¡De hecho, encontrar un triple de Gelfand para un sistema cuántico específico lo calificaría fácilmente para un doctorado!)

Para mí, el enfoque Rigged Hilbert Space recuerda al análisis no estándar descubierto en la década de 1960. En realidad, nadie lo usa, pero los hace sentir mejor acerca de cancelar el $du$ en:

\frac{d y}{d tu} \frac{d tu}{d X}

$\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$ Pero seamos honestos, ibas a hacer eso de todos modos, ¿verdad?

¿Línea de fondo?

Aprenda la rigurosa mecánica cuántica de Hilbert Space de von Neumann.

Hay un montón de libros excelentes por ahí. Incluso el seminal Mathematical Foundations of Quantum Mechanics (1932) de von Neumann es un recurso fantástico (aunque la anticuada notación pre-LaTeX es un poco intimidante). Se publicaron muchos libros modernos excelentes en las décadas de 1970 y 1980 sobre el tema (me viene a la mente Quantum Mechanics in Hilbert Space de Prugovecki ). Para un excelente tratamiento actualizado de la Mecánica Cuántica en el estilo minucioso que von Neumann saludaría, está Spectral Theory and Quantum Mechanics de Valter Moretti (¡que casualmente estoy leyendo en este momento!).

Nota sobre el tema de la generalidad...

Gran parte de su pregunta se refiere a la cuestión de la generalidad. El enfoque de Von Neumann tiene la virtud de no comprometerse con ninguna $L^2$ espacio, y como resultado produce teoremas que se cumplen para todos los sistemas mecánicos cuánticos. Pero eso no siempre es ventajoso. A veces desea encontrar resultados sobre (tipos de) sistemas mecánicos cuánticos específicos. En este caso, debe elegir un espacio de Hilbert específico (a menudo, pero no siempre, un $L^2$ espacio). Pero incluso entonces, sabe que puede confiar en todas las herramientas del oficio que aprendió/desarrolló en un Espacio Hilbert general.

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