La topología normal y la topología débil inducen la misma álgebra sigma de Borel en un espacio de Hilbert

Dejar H Sea un espacio de Hilbert separable. Entonces, la topología débil y la topología normal inducen la misma sigma-álgebra de Borel en H . Sospecho que hay algo mal con el siguiente argumento, pero no estoy seguro de qué es:

Dado que la topología débil es más débil que la topología normal y H es separable, basta con mostrar que el álgebra sigma de Borel inducida por la topología débil contiene todas las bolas cerradas. Tenemos un isomorfismo isométrico de H a su espacio dual dado por X → ⟨ X , ⋅ ⟩ , de donde vemos que las topologías de estrella débil y débil coinciden. Entonces por el teorema de Banach-Alaoglu cualquier bola cerrada B = { X ∈ H : ‖ X − y ‖ ≤ r } es compacto en la topología débil, lo que implica B está cerrado en la topología débil ya que es Hausdorff.

Lo que escribiste es correcto, recomendaría realizar el paso: todas las bolas cerradas en álgebra sigma ⟹ todas las bolas abiertas en álgebra sigma
Yo no diría que la prueba es incorrecta. Es como aparecer en una pelea a puñetazos con un tanque :) Un poco exagerado.

Respuestas (1)

Esta prueba está bien, sin embargo, hay dos puntos que me gustaría hacer:

1) Amplíe su primera oración.

2) Después de su primera oración, el resultado se sigue de un buen corolario del teorema de Hahn-Banach:

Si X es un espacio localmente convexo (por ejemplo, un espacio de Hilbert) y C ⊂ X es convexo, entonces C es cerrado en la topología original si y solo si es cerrado en la topología débil.

La topología normal y la topología débil inducen la misma álgebra sigma de Borel en un espacio de Hilbert
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