La topología débil es más débil que *cualquier* topología normada

Dejar ( H , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) Sea un espacio de Hilbert separable, real, de dimensión infinita y ‖ ⋅ ‖ X cualquier norma sobre H . ¿Es cierto que la topología débil en H siempre es más débil que la topología normal inducida por ‖ ⋅ ‖ X ?

Si la topología débil y la ‖ ⋅ ‖ X -topología son comparables, entonces esto es cierto: Dado que H es reflexivo, por Banach-Alaoglu el ‖ ⋅ ‖ X -la bola unitaria es compacta en la topología débil, pero (según Riesz-Lemma) no en la ‖ ⋅ ‖ X -topología. Sin embargo, no está claro que el ‖ ⋅ ‖ X -la topologia y la topologia debil son comparables es decir que una esta contenida en la otra.

Equivalentemente: Es cualquier funcional de la forma ⟨ ⋅ , F ⟩ : H → R , F ∈ H escritura continua el ‖ ⋅ ‖ X -topología, es decir, es cierto que para cualquier secuencia ( h norte ) norte = 1 ∞ ⊆ H calle ‖ h norte ‖ X → 0 tenemos ⟨ h norte , F ⟩ → 0 ?

Si este no es el caso (que supongo), agradecería un contraejemplo explícito.

@postmortes Es la topología más débil que hace que cada funcional lineal acotado sea continuo, pero si cambia la norma, entonces cambia qué funciones están acotadas.
Exacto, mi problema es cuando ‖ ⋅ ‖ X es más débil que ‖ ⋅ ‖ H .
@postmortes Si le da a H la topología normal, entonces todos los funcionales lineales acotados son continuos. Pero cuando cambia la norma, cambia qué funciones están limitadas. La topología débil para una norma fija es la topología más débil que hace que todos los funcionales lineales acotados sean continuos, pero una norma diferente tendrá diferentes funcionales lineales acotados. Si cree que su respuesta es correcta, intente escribirla formalmente, pero pronto descubrirá la falla.

Respuestas (2)

No, ciertamente no. Si estás poniendo una nueva norma en H , eso significa todo lo que sabes sobre H es su estructura de espacio vectorial, por lo que puede hacer prácticamente cualquier cosa con una nueva norma. Por ejemplo, deja ( X norte ) Sea cualquier secuencia de vectores linealmente independientes en H que no converge débilmente y deja ( y norte ) Sea cualquier secuencia de vectores linealmente independientes que convergen con respecto a la norma del espacio de Hilbert. Entonces hay un isomorfismo en el espacio vectorial T : H → H tal que T ( X norte ) = y norte . Retirando la norma espacial de Hilbert a lo largo T da una nueva norma sobre H (incluso una norma que hace T un espacio de Hilbert!) con respecto al cual ( X norte ) converge Desde ( X norte ) no converge débilmente, esto significa que la topología normal no es más fuerte que la topología débil.

Aquí hay otro contraejemplo simple: Tome H = L 2 ( 0 , 1 ) y establecer ‖ tu ‖ X := ‖ tu ‖ L 1 ( 0 , 1 ) . Llevar F ∈ L 2 ( 0 , 1 ) . Si tu ↦ ∫ 0 1 tu F   d X seria continuo a la L 1 -norma entonces F ∈ L ∞ ( 0 , 1 ) seguirían.

La topología débil es más débil que *cualquier* topología normada
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