¿Por qué el centro de masa es el pivote de rotación?

Suponga que una pelota se mueve horizontalmente hacia la derecha y golpea un palo vertical en una posición más cercana a su extremo superior. Entiendo intuitivamente que el palo tendrá momento lineal y angular, y que girará alrededor de su centro de masa.

Para simplificar, supongamos que después de la colisión la bola termina en reposo, de modo que todo su momento y momento angular se transfieren al palo. Si bien los detalles de cómo haríamos que esto suceda depende de la masa y la velocidad de la pelota, y de dónde golpea el palo, supongamos que se ha configurado de esta manera (o que hay otras interacciones internas que permiten esto). a suceder). Si desea considerar casos en los que la pelota no termina en reposo después de la colisión, puede hacerlo, pero no creo que sea esencial para la pregunta y la respuesta en este momento.

Supongamos también que la colisión es rápida, por lo que no necesitamos meternos en el lío de pensar en las fuerzas durante la colisión.

Pero, ¿por qué la masa debe girar alrededor de su centro de masa? ¿Por qué el palo no podía simplemente moverse horizontalmente hacia la derecha (junto con la pelota) y no girar en absoluto ya que el centro de masa del palo no está sujeto a nada? Parece que existe un pasador imaginario en el centro de masa que hace que gire alrededor de ese punto sin importar dónde golpee la pelota.

Podemos elegir nuestro punto de referencia para que sea el centro de masa del objeto. Entonces, la bola tiene un momento angular distinto de cero con respecto al punto de referencia, y dado que la bola se detiene, debe ser que el palo adquiere un momento angular con respecto a este punto. Si el palo no girara, entonces no tendríamos momento angular alrededor del centro de masa. Entonces, al menos estamos de acuerdo en que tiene que haber algún tipo de rotación.

Pero, ¿por qué el objeto debería girar alrededor del centro de masa? Bueno, si el objeto gira sobre algún otro punto, entonces tendría que haber alguna fuerza neta aplicada al objeto (siendo el centro de masa del objeto el punto de referencia).$^*$Pero después de la colisión, no hay fuerzas que actúen sobre la palanca, por lo que no podemos tener un momento de torsión actuando sobre la palanca. La rotación continua alrededor del centro de masa es la única manera de que el momento angular del objeto permanezca constante alrededor del centro de masa (nuestro punto de referencia elegido).$^{**}$

¿Se puede elegir el punto de referencia en un punto que no sea el centro de masa (pero aún estar en la palanca), y calcular el par sobre ese punto y aún poder calcular el movimiento de la palanca después de la colisión? He pensado en elegir el punto en el que la pelota choca con el palo como punto de referencia. Entonces, según la definición de par, el par será 0, lo que implica que no habrá rotación en absoluto. ¿Por qué este razonamiento es incorrecto?

Siempre puede elegir cualquier punto de referencia que desee para calcular cosas como el par y el momento angular. Tienes razón en que si elegimos que el punto de referencia sea el punto de colisión, entonces la bola no ejerce torsión sobre el palo. Esto solo significa que el momento angular del palo será$0$ sobre este punto exacto en el espacio . Esto no significa que el palo no gire, solo significa que si tuviera que sumar el momento angular de cada parte del palo a medida que se mueve (movimiento de traslación y rotación), encontraría que el momento angular total es$0$. Tenga en cuenta que, una vez más, si no hubiera ninguna rotación de la palanca, esta condición no se cumpliría.

Si es más difícil entender esto, entonces bien. Esta es la razón por la que generalmente elegimos el punto de referencia como el punto sobre el cual gira el objeto, en lugar de algún otro punto. El análisis se vuelve mucho más fácil de hacer.

$^*$Recordar,$\mathbf a_\text{COM}=\mathbf F_\text{net}/M$, por lo que si el objeto gira alrededor de un punto que no es el centro de masa, entonces$\mathbf a_\text{COM}\neq0$y debe haber una fuerza neta actuando sobre el objeto.

$^{**}$Tenga en cuenta que he hecho un cambio sutil de marco de referencia aquí. Antes de la colisión, el punto de referencia era el centro de masa, que está en reposo. Después de la colisión, estamos mirando el objeto en el marco de referencia del objeto. El análisis anterior seguiría siendo cierto si nos quedáramos en el marco de referencia original, pero creo que es más fácil pensar en "antes" y "después" de la colisión en estos marcos. La razón por la que podemos salirnos con la nuestra es porque después de la colisión, el centro de masa se moverá con una velocidad constante.

Dado que el momento y el momento angular deben conservarse, la única forma de satisfacerlos simultáneamente es tener el pivote en el centro de masa.

Si escribe una expresión para la suma vectorial de los momentos para todas las partículas en un sistema y aplica la definición del centro de masa, encontrará que el momento total se puede escribir como, MV, en términos de la masa total y el velocidad del centro de masa. Si luego aplica una o más fuerzas externas al sistema, una o más partes cambiarán su momento con un cambio correspondiente en la velocidad del centro de masa. (Cualquier fuerza interna ocurrirá como pares iguales y opuestos y no afectará el momento total). La conclusión es que el centro de masa sigue una curva relativamente suave en respuesta a la suma de las fuerzas externas. Para cualquier parte del sistema que se mueva en relación con el centro de masa, el movimiento se puede dividir en un componente radial y uno que se puede interpretar como rotación. Si el sistema es un cuerpo rígido, entonces cualquier rotación debe ser compartida por todo el cuerpo. El centro de masa en sí mismo no girará alrededor de otro punto a menos que se lo indique una fuerza externa, como la de un eje fijo. (Nota: el centro de masa del sistema Tierra-Luna sigue una órbita uniforme alrededor del Sol).

La segunda ley de Newton establece que la tasa de cambio del momento es igual a las fuerzas netas que actúan sobre un cuerpo. Y el momento se define como el producto de la masa y la velocidad del centro de masa .

Como resultado, las fuerzas netas que actúan sobre un cuerpo solo afectan el movimiento del centro de masa como un punto . El resto del cuerpo puede girar alrededor del centro de masa a medida que el CM se desplaza en línea recta.

En un marco de referencia de movimiento conjunto, esto aparece cuando el cuerpo gira alrededor del centro de masa.

También puedes pensar en esta situación al revés. Si el cuerpo estaba girando sobre cualquier otro punto además del CM, entonces el CM viajará alrededor del pivote y experimentará aceleración. Pero la única forma en que esto puede suceder es si las fuerzas actúan sobre el cuerpo. Entonces el cuerpo no será libre de moverse por sí mismo, sino que estará restringido de alguna otra manera.