¿Es posible hacer una tomografía de estado de un estado entrelazado solo mediante mediciones en subsistemas?

Es posible hacer una tomografía solo haciendo mediciones en los subsistemas, siempre que uno pueda correlacionar los resultados de la medición, es decir, tenemos que poder medir los valores esperados (wlog me limito a un estado bipartito)

$$\langle A\otimes B\rangle = \mathrm{tr}(\rho(A\otimes B))\ .$$

La razón es que para hacer una tomografía es suficiente medir$\mathrm{tr}(\rho X)$para un conjunto de operadores (hermitianos)$X$que generan el espacio completo de matrices (hermitianas).

Para entender cómo funciona esto, tenga en cuenta primero que$\mathrm{tr}(X^\dagger Y)$define un producto escalar (= una estructura de espacio de Hilbert) en el espacio de matrices, y para un espacio de Hilbert, un vector está completamente determinado por su producto escalar con cualquier base de vectores. Por otro lado, dados dos espacios de Hilbert$\mathcal H_1$y$\mathcal H_2$con bases$\vec c_i$y$\vec d_j$, una base de$\mathcal H_1\otimes \mathcal H_2$es dado por$\vec c_i\otimes \vec d_j$.

Por lo tanto, todo lo que tiene que hacer es elegir matrices hermitianas$C_i$y$D_j$que abarcan todo el espacio de las matrices hermitianas y miden todos los valores esperados (= determinan los productos escalares)

$$\langle C_i\otimes D_j\rangle=\mathrm{tr}(\rho(C_i\otimes D_j))\ ,$$ que es suficiente información para reconstruir $\rho$.

Por ejemplo, en el caso de dos qubits, es suficiente elegir$C_i$y$D_j$las matrices de Pauli y la identidad, y por lo tanto, es suficiente para medir

$$\langle \sigma_i\otimes \sigma_j\rangle$$ con $j=0,1,2,3$.

Es fácil ver que este argumento se generaliza al entorno multipartito.

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EDITAR (después de un comentario del OP):

Si uno quiere restringir las medidas en una sola parte , es decir,$\langle M_i\otimes Id \rangle$y$\langle Id\otimes N_j\rangle$, la tomografía no es posible , ya que estos valores esperados solo dependen de las matrices de densidad reducida individuales. Un contraejemplo simple está dado por dos estados entrelazados al máximo, como

$$\vert\psi^{\pm}\rangle = \frac{\vert 00\rangle \pm \vert 11 \rangle}{\sqrt{2}}\ ,$$ ya que para cualquier estado de enredo máximo, los operadores de densidad reducida para ambas partes son el estado de mezcla máxima.