¿Es la velocidad una propiedad intensiva?

¿Por qué parece impropio agregar muchas velocidades (o velocidades)?

Sumar velocidades a menudo es inapropiado incluso en la mecánica newtoniana. Suponga que Mark se mueve 3 m/s hacia el este con respecto a Bob, y John se mueve 3 m/s hacia el oeste con respecto a Mark. La velocidad relativa entre Bob y John es cero en lugar de los 6 m/s sugeridos al sumar velocidades. Sin embargo, puede agregar velocidades en este caso.

Sin embargo, la velocidad no es una propiedad intensiva ni extensiva. Considere un gran ladrillo moviéndose a$\vec v_b$y un grano de arena moviéndose a$\vec v_s$. ¿Cuál es la velocidad del sistema ladrillo+grano? Por lo general, uno usaría la velocidad del centro de masa, y eso es$\frac {m_b \vec v_b + m_g \vec v_g}{m_b + m_g}$. Esa expresión no corresponde ni al concepto de propiedad intensiva ni al de propiedad extensiva.

El impulso en lugar de la velocidad es aditivo, al menos en la mecánica newtoniana. La cantidad de movimiento del sistema ladrillo+grano es la suma vectorial de la cantidad de movimiento del ladrillo y la cantidad de movimiento del grano de arena. Así, el momento (pero no la velocidad ni la rapidez) es una propiedad extensiva en el contexto de la mecánica newtoniana.

Aquí se necesita una calificación: el momento es aditivo en la mecánica newtoniana si todos esos momentos están referenciados con respecto a un marco de referencia común. La cantidad de movimiento del ladrillo con respecto a algún observador y la cantidad de movimiento del grano de arena con respecto al ladrillo no se suman.

He usado la "mecánica newtoniana" varias veces. El concepto newtoniano del momento como el producto de la masa y la velocidad falla cuando las cosas se mueven muy rápido. En el contexto de la relatividad especial, es el momento relativista en lugar del momento newtoniano lo que es aditivo (y una vez más, se aplica mucho el concepto de un marco de referencia común).

En el contexto de la relatividad general, incluso agregar momentos relativistas no tiene mucho sentido. Preguntar sobre el momento total de la galaxia de Andrómeda y una galaxia extremadamente remota es un poco absurdo en el contexto de la relatividad general.

Su pregunta, a partir de ahora, me parece confusa. Una propiedad extensiva de un sistema es aquella que escala con el tamaño del sistema . Una propiedad intensiva es independiente del tamaño del sistema. Por ejemplo, considere un sistema$A_1$con$N$partículas en un volumen$V$, con densidad$\rho=\frac{N}{V}$. Ahora, consideramos dos de estos sistemas por separado,$A_1$y$A_2$, y llama a los dos juntos$B$. Entonces,$B$tiene un total de$2N$partículas, dentro de un volumen$2V$, con densidad$\rho=\frac{2N}{2V}=\frac{N}{V}$.

Como vemos, 'duplicar el sistema' nos da el doble de partículas y el doble de volumen, pero la misma densidad. Esto muestra que el número de partículas y el volumen son cantidades extensivas y la densidad es una cantidad intensiva. Ahora, piense en una partícula en una caja que rebota a una velocidad$v$. Considere dos de estos sistemas y tendrá dos cajas con una partícula, cada una con velocidad$v$. Claramente, la velocidad de cada partícula no se ve afectada por nuestro tonto experimento mental, por lo que claramente no es una propiedad extensiva.

¿Podemos decir ahora que la velocidad de la partícula es una propiedad intensiva ? No realmente. Las nociones de intensivo y extensivo surgen en la termodinámica, donde son útiles para agrupar ciertas propiedades de los sistemas en función de si escalan o no con el tamaño del sistema. En termodinámica, generalmente se consideran sistemas que son una (gran) colección de partículas individuales, de modo que se pueden discutir cosas como la temperatura y otras nociones que realmente no tienen sentido a nivel microscópico.

Si uno considera una gran colección de partículas, entonces la velocidad de una sola partícula realmente no es una propiedad del sistema . El objetivo de la termodinámica es comprender el comportamiento de grandes sistemas sin discutir los detalles de lo que sucede con cada constituyente individual. Por lo tanto, la velocidad de una sola partícula generalmente no se considera una propiedad del sistema para empezar, por lo que no puede ser ni intensiva ni extensiva. Espero que esto aclare las cosas un poco.

Sin embargo, en otros contextos, por supuesto, tiene mucho sentido agregar velocidades, por ejemplo, en la mecánica newtoniana o la teoría especial de la relatividad.

Teniendo en cuenta las respuestas y los comentarios, mi propia conclusión actual es que la velocidad es una propiedad intensiva, siempre que el sistema considerado sea homogéneo , al menos con respecto a la velocidad. Al igual que otras propiedades intensivas, esto puede depender de la escala y dejar de tener significado a nivel molecular.

No tenía la intención de escribir una respuesta a mi propia pregunta, pero ... escribir la pregunta suele ser una buena manera de comprender mejor el problema y encontrar la respuesta. Podría haber agregado esto a la pregunta, ya que quedan problemas al final. Pero la pregunta ya es larga, y esto también lo es. Por lo tanto, parecía mejor hacerlo de esta manera.

Inicialmente miré la velocidad como una razón porque la conozco como la razón de una distancia a un tiempo. Pero eso fue mucho sin pensar, y es la forma incorrecta de verlo, sobre todo porque no sé mucho lo que puede ser la distancia y el tiempo. De hecho, me quedé con la velocidad, o más bien con la velocidad, cuando me di cuenta de que no vería el significado de agregar muchas velocidades, que era una variante de mi problema de base de datos original.

Pero luego, me di cuenta de que la velocidad es una razón de una manera diferente:$\overrightarrow{V}=\overrightarrow{P}/M$, es decir, la velocidad es la relación entre el impulso (vector) y la masa.

Y luego, la oportuna respuesta de David Hammen me recordó que el momento es aditivo en la mecánica newtoniana, cuando se considera el movimiento de varios cuerpos en el mismo marco, y también que la velocidad no lo es... lo que confirma que, en todo caso, no es extensiva.

De hecho, si tomo la respuesta de Nathaniel a otra pregunta , así como la definición del Libro Verde de la IUPAC , recordada en la página de wikipedia , la aditividad es lo que caracteriza a una propiedad extensiva. Entonces debo concluir que el momento (lineal) es una propiedad extensiva y la velocidad no lo es.

El mismo razonamiento y conclusión se aplica a la masa (esto parece generalmente aceptado :-).

Dado que la velocidad es la relación entre el vector momento y la masa, se deduce que la velocidad debe ser una propiedad intensiva de un sistema.

Esto justifica que la velocidad (o rapidez) no es aditiva, en el sentido de que no se puede hacer un sistema grande a partir de partes más pequeñas y sumar las velocidades de las partes para obtener la velocidad del todo.

Pero esta conclusión está en contradicción con la opinión de David Hammen de que la velocidad no es intensiva, aunque en realidad no dice por qué, y no veo por qué su fórmula para la velocidad del centro de masa debería ser un problema.

Sin embargo, creo que un requisito (establecido solo en ejemplos, pero no en definiciones en los documentos que tengo) es que las propiedades intensivas son significativas solo en sistemas homogéneos en equilibrio (lo cual fue confirmado por el comentario de CuriousOne . Con respecto a la velocidad , eso significaría que solo se puede aplicar cuando el sistema considerado es de velocidad homogénea. o de alguna manera fusionarse en un solo sistema homogéneo. Tal vez podría aplicarse a la colisión de nubes de gas en el espacio, o de gotas de agua en gravedad cero (en un Probablemente haya otros ejemplos de fluidos que pueden fusionarse y equilibrar el impulso para alcanzar el equilibrio, sin romperse.

Eso debería hacer de la velocidad una propiedad intensiva.

Se pueden agregar velocidades al considerar las velocidades relativas de diferentes sistemas entre sí. Pero esa es una situación completamente diferente, y no tiene nada que ver con fusionar varios sistemas en un solo sistema y "combinar" adecuadamente sus velocidades. Es poco probable que lleve a alguien a sumar una gran cantidad de velocidades, ya que uno podría agregar muchos momentos al tener una gran cantidad de cuerpos fusionados en un solo sistema.

En la discusión anterior, he estado considerando manchas o nubes de fluido como ejemplo, ya que parece necesario poder hablar de fusionar dos sistemas. Sin embargo, no hay necesidad de tal restricción cuando se considera un solo sistema, digamos una piedra o un cubo de hierro. Si la velocidad como propiedad intensiva tiene algún sentido, tiene sentido para cualquier velocidad homogénea, y eso ciertamente se aplica a un sólido.

Al considerar las velocidades relativistas, no hay razón para que la pregunta pierda su significado. Una supernova puede expulsar nubes de material al 10% de la velocidad de la luz , lo que puede considerarse una velocidad relativista ya que corresponde a una discrepancia del 1% entre la mecánica newtoniana y la relativista. Supongo que tal nube, o parte de ella, podría chocar con otra nube y fusionarse con ella en una nube finalmente homogénea (pero no tengo experiencia en tales fenómenos). El penúltimo párrafo de la respuesta de David Hammen , así como el comentario de Void, parecen indicar que las cosas todavía funcionan a una velocidad relativista, siempre que se utilicen las propiedades correctas (como el momento relativista según David Hammen, o cuatro momentos y cuatro velocidades según Void).

Finalmente, un comentario respaldado por leftaroundabout sugiere que "intensivo versus extensivo solo tiene sentido para cantidades escalares verdaderas", pero sin más justificación. Me pregunto por qué debería ser eso. Además, esto parece estar en desacuerdo con la página de Wikipedia que enumera la magnetización como una propiedad intensiva. Pero la magnetización es un campo vectorial.

De manera similar, entiendo la respuesta de Danu de que los conceptos de propiedades intensivas y extensivas se desarrollaron como herramientas útiles para estudiar la termodinámica (leí un poco antes de hacer mi pregunta). Pero según la página de wikipedia , ya se usan en otros contextos, y no veo por qué eso debería excluir considerar la velocidad, cuando estadísticamente es tan homogénea, como expliqué anteriormente.

Aquí hay un punto de vista de la termodinámica que podría ser útil.

Por lo general, las cantidades intensivas (en la forma en que suelen definirse) surgen como derivadas de la energía total (interna)$U$por alguna cantidad extensiva particular . De este modo:

• Temperatura$T=\frac{\partial U}{\partial S}$, la derivada con respecto a la entropía

• Presión$P=-\frac{\partial U}{\partial V}$, la derivada con respecto al volumen (con la convención de signos opuestos a las otras cantidades, pero esto no es importante)

• Potencial químico$\mu_i=\frac{\partial U}{\partial N_i}$, la derivada con respecto al número de partículas de una especie dada

• Potencial eléctrico$\phi=\frac{\partial U}{\partial Q}$, la derivada con respecto a la carga

etcétera. Estos se pueden resumir como la "ecuación fundamental de la termodinámica:

Ahora, la pregunta es, ¿podemos agregar un término en este sentido que involucre velocidad, o más bien velocidad? La respuesta es sí, porque

donde$v_x$es componente de la velocidad de una partícula en el$x$dirección, y$p_x$el$x$componente de su impulso. Se aplican ecuaciones similares para el$y$y$z$direcciones por supuesto.

La ecuación anterior es bastante general y se aplica en situaciones relativistas. Sin embargo, si nos restringimos a una partícula newtoniana simple en una dimensión, para la cual$U = V(x) + \frac{1}{2}mv^2$(dónde$V(x)$es la energía potencial), entonces es fácil ver que es cierto en este caso especial, ya que podemos reescribir la energía como$V(x) + \frac{1}{2m}p^2$.

Por lo tanto, si la situación lo amerita, podemos agregar un$vdp$término a la ecuación fundamental de la termodinámica, y así la velocidad (en alguna dirección) puede verse como la cantidad intensiva correspondiente al momento en la misma dirección, que es extensiva . (Tenga en cuenta que tiene sentido sumar, en lugar de promediar, los momentos de miles de partículas).

De hecho, esto se hace a menudo cuando se aplica la termodinámica de no equilibrio a la mecánica de fluidos y, en particular, a la dinámica atmosférica. La diferencia de velocidades horizontales entre el viento predominante y la superficie terrestre estacionaria puede verse como la fuerza impulsora que provoca un flujo de impulso (horizontal) hacia abajo desde la atmósfera hacia la Tierra, lo que genera una pequeña cantidad de calentamiento por fricción. Esto es exactamente análogo a la forma en que una diferencia de temperaturas impulsa un flujo de calor, o una diferencia de potenciales eléctricos impulsa un flujo de electrones.

Esta es una pregunta muy interesante. La velocidad se puede considerar como una propiedad intensiva o extensiva, dependiendo de si estamos investigando las partes de un solo sistema o considerando las relaciones entre sistemas separados.

La velocidad debe ser una propiedad intensiva, por considerar: Si yo, mi pasajero y mis libros viajamos en mi automóvil, y si mi automóvil tiene la propiedad de moverse a 60 mph en relación con un observador que descansa al costado del camino, entonces no sólo yo comparto esa propiedad, pero también mi pasajero, cada uno de mis libros y cada partícula elemental de ese auto. Por tanto, la velocidad del coche es una propiedad intensiva con respecto a todas las partes de mi coche.

La velocidad del automóvil no cambiará si tiro uno de mis libros por la ventana, aunque su impulso cambiará, especialmente si resulta ser un libro pesado, como Gravitation de JA Wheeler. Mientras que la velocidad es intensiva, el impulso es extensivo.

La pregunta inicial parece abordar el problema de sumar las velocidades de sistemas separados (de pasajeros, libros, partículas, etc.). Supongamos que tiro mi libro por la ventana de mi automóvil (a 60 mph) y cae en la plataforma de un camión que me adelanta en la misma dirección a 40 mph. Ahora mi libro va a 100 mph con respecto al resto del observador. Si mi desafortunado libro luego rebota fuera de la cama del camión y aterriza en un tren que va a 180 mph (con respecto al resto del observador) en la dirección opuesta, entonces mi libro viaja a -240 mph en relación conmigo y mi pasajero.

Podemos ver mi libro rebotar entre distintos sistemas móviles moviéndose a diferentes velocidades (a lo largo de la misma dimensión con respecto al resto del observador) durante todo el día. Entonces, la velocidad es una propiedad extensiva con respecto a sistemas separados.

Ahora, aquí hay otra pregunta interesante: ¿cómo sirve la velocidad de la luz para limitar la suma de velocidades de sistemas separados?