¿Diferentes expresiones de ondas EM cilíndricas si se derivan de una ecuación de onda unidimensional o tridimensional?

Question

¿Diferentes expresiones de ondas EM cilíndricas si se derivan de una ecuación de onda unidimensional o tridimensional?

Sørën

Considere las ondas electromagnéticas cilíndricas. Las ondas cilíndricas se pueden derivar de las ondas planas utilizando la consideración de conservación de energía: dado que la potencia debe ser constante, la amplitud de una onda cilíndrica debe disminuir con $\sqrt{r}$ . Por lo tanto, una expresión de onda cilíndrica debe ser

mi (r, t) = \frac{{mi}_{0}}{\sqrt{r}} s i norte (k r - ω t)

$\mathbf{E}(r,t)=\frac{\mathbf{E}_0}{\sqrt{r}} \mathrm{sin}(kr-\omega t)$

La función $\sqrt{r} \mathbf{E}(r,t)$ satisface la ecuación de onda unidimensional

\frac{\partial^{2} ξ}{\partial r^{2}} - \frac{1}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ξ}{\partial t^{2}} = 0

$\frac{\partial^2\xi}{\partial r^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}=0$

En notación compleja, la onda cilíndrica se convierte en

\begin{matrix} (1) & mi (r, t) = \frac{{mi}_{0}}{\sqrt{r}} {mi}^{j (k r - ω t)} \end{matrix}

$\mathbf{E}(r,t)=\frac{\mathbf{E}_0}{\sqrt{r}} e^{j(kr-\omega t)}\tag{1}$

si llamamos $\xi$ un componente genérico de $\mathbf{E}$ , la ecuación de onda tridimensional es

\nabla^{2} ξ - \frac{1}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ξ}{\partial t^{2}} = ◻ ξ = 0

$\nabla^2\xi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}=\square \xi=0$

La solución en coordenadas cilíndricas es

\begin{matrix} (2) & ξ (r, ϕ, z, t) = \sum_{ω, norte, h} R_{ω, norte, h}^{0} H_{norte} (r \sqrt{\frac{ω^{2}}{C^{2}} - h^{2}}) {mi}^{j (norte ϕ + h z - ω t)} \end{matrix}

$\xi (r,\phi , z,t) =\sum_{\omega,n,h} R^{0}_{\omega, n, h } H_n\Bigg(r \sqrt{\frac{\omega^2}{c^2}-h^2}\Bigg) e^{j(n\phi +hz-\omega t)} \tag{2}$

Dónde $R^{0}_{\omega, n, h }$ es una constante (compleja) y $H_n$ es la función de orden de Hankel $n$ .

Bajo el supuesto de simetría cilíndrica de la onda, es decir

\frac{\partial ξ}{\partial ϕ} = 0 a norte d \frac{\partial ξ}{\partial z} = 0

$\frac{\partial \xi}{\partial \phi}=0 \,\,\,\,\,\, \mathrm{and} \,\,\,\,\,\, \frac{\partial \xi}{\partial z}=0$ la aproximación asintótica de

(2)

$(2)$ (para

r >> \frac{c}{ω}

$r >> \frac{c}{\omega}$ ) conducen a un campo que es el mismo que

(1)

$(1)$ .

Mi pregunta es: ¿por qué (bajo simetría cilíndrica) es $(2)$ igual a $(1)$ solo a grandes distancias?

siempre pensé que $(1)$ da la expresión de una onda cilíndrica en todas las circunstancias. Asi es $(1)$ "incorrecto" para pequeño $r$ ? O son $(1)$ y $(2)$ describir dos cosas diferentes? Si es así ¿Cuáles son las diferencias?

(Tengo una duda idéntica para las ondas esféricas).

Emilio Pisanty

Tenga en cuenta que está mezclando convenciones en esta pregunta: si usa

j

$j$ para

\sqrt{- 1}

$\sqrt{-1}$ , entonces debes escribir

e^{j (ω t - k x)}

$e^{j(\omega t-kx)}$ como hacen los ingenieros; si debe tener un signo positivo en el

k x

$kx$ , usar

i

$i$ en cambio. Estas son convenciones de ingeniero contra físico y usted las rompe bajo su propio riesgo (puede y le causará dolor en el futuro), y no debe romperlas en un lugar que ponga a otros en una posición en la que se les requiera usar su notación. .

Respuestas (3)

¿Diferentes expresiones de ondas EM cilíndricas si se derivan de una ecuación de onda unidimensional o tridimensional?

Tenga en cuenta que está mezclando convenciones en esta pregunta: si usa $j$ para $\sqrt{-1}$ , entonces debes escribir $e^{j(\omega t-kx)}$ como hacen los ingenieros; si debe tener un signo positivo en el $kx$ , usar $i$ en cambio. Estas son convenciones de ingeniero contra físico y usted las rompe bajo su propio riesgo (puede y le causará dolor en el futuro), y no debe romperlas en un lugar que ponga a otros en una posición en la que se les requiera usar su notación. .

Ruslán · Answer 1

La conservación de energía por sí sola no es suficiente para obtener una solución exacta para una ecuación de onda cilíndrica. Obtienes la solución asimptótica correcta ,

mi (r, t) \sim \frac{{mi}_{0}}{\sqrt{r}} s i norte (k r - ω t) como r \to \infty,

$\mathbf{E}(r,t)\sim\frac{\mathbf{E}_0}{\sqrt{r}} \mathrm{sin}(kr-\omega t)\;\text{ as }\;r\to\infty,$

pero es sólo eso, asintótico como $r\to\infty$ , y no válido para $r\to0$ .

Para ver qué sucede, considere la curvatura del frente de onda lejos del origen y cerca de él. Verá que lejos del origen, de hecho, el frente de onda está cerca de ser plano, por lo que puede aproximar la función de onda con una sinusoide (que se desvanece). Pero cerca del origen, el frente de onda es bastante curvo y su curvatura se vuelve infinita en el origen. Claramente algo debe volverse diferente allí.

Es importante comprender que independientemente de las coordenadas que elija para resolver la ecuación de onda, cualquier solución sigue siendo la solución, siempre que esté interesado solo en el dominio donde la solución no es singular. Así, por ejemplo, la función

F (X, y, z, t) = j_{0} (k \sqrt{X^{2} + y^{2}}) {mi}^{i ω t}

$f(x,y,z,t)=J_0\left(k\sqrt{x^2+y^2}\right)e^{i\omega t}$

todavía resuelve la ecuación de onda 3D, al igual que la función

gramo (X, y, z, t) = pecado (k X) {mi}^{i ω t}

$g(x,y,z,t)=\sin(kx)e^{i\omega t}$

y muchos otros.

Lo que distingue a las soluciones representadas en términos de funciones de Bessel/Neumann/Hankel es su comportamiento particular en la rotación alrededor del origen: tales soluciones son funciones propias del operador de rotación.

¿Cómo conviertes tu $\cos$ -solución a una función de Bessel? Dado que queremos que la solución sea una función propia del operador de rotación (consideraremos el único invariante bajo la rotación por simplicidad), una de las formas es integrar en todas las direcciones . Aquí hay un ejemplo para $0\text{th}$ ordenar la función de Bessel:

j_{0} (r) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} porque (r porque φ) d φ .

$J_0(r)=\frac1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi} \cos(r\cos\varphi)\,\mathrm d\varphi.$

Aquí la interferencia de todos los cosenos rotados automáticamente te da ambos: desvanecerse con $r\to\infty$ para satisfacer la conservación de la energía y los cambios en la longitud de onda para $r\to0$ para tener en cuenta la "agrupación" de las ondas cerca del origen.

Si puedo preguntar, no veo por qué las consideraciones energéticas dan una expresión para $\mathbf{E}(r,t)$ eso no es válido cerca del eje: ¿qué quiere decir matemáticamente con la "curvatura" del frente de onda? Es muy razonable que cerca de la fuente (p. ej., un cable infinitamente largo) el frente de onda no se pueda describir con esa función simple, pero solo usando la consideración de energía se obtiene esa expresión.
@Sørën, ¿sabes qué es la curvatura ? Me refiero exactamente a esto. Solo considere la diferencia entre las direcciones de propagación en los puntos cercanos: lejos del origen, en su mayoría son paralelos, por lo que su onda está lo suficientemente cerca de una onda plana, mientras que cerca del origen, las direcciones varían bastante a medida que se mueve de un punto a otro.

flippiefanus · Answer 2

Las coordenadas cilíndricas solo tienen sentido en dos o más dimensiones, donde $(x,y)\rightarrow (r,\phi)$ representaría la transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas. Cuando solo tienes una dimensión, entonces la transformación $x\rightarrow r$ es algo trivial en el sentido de que realmente no da nada por casualidad. Entonces terminas con algo que todavía se parece al caso cartesiano. Es por eso que la solución en (1) se parece más a la solución de onda plana que tendría para el caso cartesiano en dos o más dimensiones.

Por cierto, en dos (o más) dimensiones, la solución en coordenadas cilíndricas contiene las funciones de Bessel en lugar de las funciones de Hankel, porque se supondría que la solución es finita en el origen.

La onda en ejecución es la función de Hankel de todos modos. No puede ser finito en el origen en general.
@Ruslan: ¿qué quiere decir con la "ola en movimiento"? La solución en tres dimensiones para una región que contiene el origen tiene que ser finita en el origen para ser física. Tal solución solo contiene la función de Bessel. Un ejemplo de eso son los modos en una fibra óptica.
Una onda en movimiento puede emanar (o ser absorbida por) una superficie cilíndrica de radio finito, por ejemplo. Fuera del cilindro, la solución estará representada por funciones de Hankel y será finita. Dentro del cilindro, la solución dependerá de qué medio haya y cómo interactúa con el medio exterior. Todo esto depende de las condiciones de contorno (¡y su ubicación!), no puede simplemente descartar la segunda solución de una ecuación diferencial porque diverge en alguna parte .

JEB · Answer 3

También: considere los conceptos de campo cercano y lejano. La solución exacta contiene ambos. En el campo lejano, solo existen ondas viajeras ( $1/r^2$ potencia para casos esféricos) que se aproximan asintóticamente a ondas planas. El campo cercano cae más rápido (por lo tanto, "cerca"), además, puede haber diferencias de fase con la oscilación de conducción: la energía puede ir al campo y regresar a la antena, por ejemplo. Creo que el chip de la tarjeta de crédito es un dispositivo de campo cercano y, por lo tanto, es más seguro que RFID, que irradia su información.

¿Diferentes expresiones de ondas EM cilíndricas si se derivan de una ecuación de onda unidimensional o tridimensional?

Sørën

Emilio Pisanty

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