Aislador topológico Z2Z2Z_2: número impar frente a par de pares de estados de borde

Su siguiente declaración es casi exacta:

"Soy consciente del argumento que dice que la perturbación invariante de inversión de tiempo solo puede acoplar estados de borde por pares, ..."

La declaración anterior sería más precisa si reemplaza "pareja" por "aniquilar". El uso del primero frente al segundo tiene una interpretación físicamente distinta. Si empiezo con un hamiltoniano diagonal (digamos)$H_{0}$, expresado como una matriz en base a un número arbitrario de modos de borde sin espacios (pares), entonces los electrones en estos modos no se dispersan entre sí si la matriz es diagonal. En otras palabras, los modos están desacoplados . Usando su ejemplo de tres pares de estados de borde y asumiendo una dispersión similar a la de Dirac para ellos, podemos escribir su dispersión de energía-momento como

$$E_{n,\pm}(k)=\pm\hbar v_{F,n}|k| \; ,$$ dónde $n=1,2,3$etiqueta los pares y $\pm$identifica al socio de Kramers. Asumiendo $v_{F,n}= v_{F}$para todos $n$, el hamiltoniano se puede expresar en forma matricial (en la base que definiste anteriormente) como $$H_{0}(k) = \hbar v_{F}|k|\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right)$$

Ahora, si introducimos una perturbación$V$(diga de su ejemplo), y use una metáfora de tráfico , entonces los electrones en el mismo "carril" (codificados por color como rojo o azul) pueden viajar en cualquier dirección. Como usted señaló correctamente, los electrones en el$| 1, 1 \rangle$y$| 2, 1 \rangle$Los carriles (rojos) pueden dar un "giro en U" al cambiar al$| 3, 2 \rangle$carril. En otras palabras, las impurezas no magnéticas pueden retrodispersar los electrones que se mueven hacia la derecha y viceversa. Se puede hacer un argumento equivalente para los carriles azules. Estos son, por construcción, procesos simétricos de inversión de tiempo. Aquí hay una verificación rápida de cordura: sin impurezas magnéticas (y suponiendo$s_{z}$conservación) no habrá vueltas de giro. Por lo tanto, desacoplar los carriles rojo y azul supone implícitamente una simetría de inversión de tiempo. El hamiltoniano completo ahora se convierte en

$$H_{1}(k) = H_{0}(k) + V \; .$$

La dispersión del borde reconstruida se puede obtener diagonalizando el hamiltoniano anterior de forma independiente para cada$k$. Para simplificar el análisis, centrémonos en$k=0$. Además, de todos modos estamos interesados ​​en la falta de espacios en los estados de borde. Nota:

$$\begin{align} H_{1}(0) &= H_{0}(0) + V \\ &= V \end{align} \; .$$ diagonalizando $V$de una manera directa da valores propios doblemente degenerados (es decir, un total de seis) $\varepsilon = 0, \; \sqrt{2}a, \; - \sqrt{2}a$. Tenga en cuenta que dos pares de estados de borde han adquirido un $2\sqrt{2}a$brecha de banda Esto se puede ver como una aniquilación del espacio de momento de un par de estados de borde.

Del ejemplo anterior, parecería como si solo dos pares de estados absorbieran la dispersión y dejaran intacto el tercero. De la expresión explícita para$V$, sin embargo, está claro que la dispersión está ocurriendo en los tres pares. Eso es porque estamos mirando el$V$matriz en la base original ; es decir, antes de que se introdujera la perturbación. Como ya sabrá, en la teoría de bandas se acostumbra etiquetar las bandas en una base diagonal en$k$-espacio. Por lo tanto, en la nueva base , la dispersión ocurre entre solo dos pares de bandas de Kramers (con espacios) mientras se deja intacta la tercera (sin espacios). Otra forma de verlo es la siguiente: podemos ver (contrariamente a la costumbre de la teoría de bandas) la estructura de bandas del estado de borde en la nueva base antes de que se introduzca la perturbación. En otras palabras, podemos redefinir los estados de los bordes como combinaciones lineales de la base anterior utilizando los componentes del vector propio de la$V$diagonalización Además, la combinación lineal de una base sin espacios volverá a ser sin espacios (ahora con diferentes$v_{F,n}$'s). En esta base, la dispersión solo ocurrirá entre dos pares de estados de borde (por$|E| < |\sqrt{2}a|$) al encender lentamente$V$.

En el artículo de Hasan-Kane, los autores discuten una teoría general de los aisladores topológicos de banda. Por lo tanto, la Fig. 3 podría representar potencialmente una porción (en el espacio de momento) de las bandas$E(k_{x},k_{y},k_{z})$a lo largo de una línea que conecta dos puntos de momento invariante de inversión de tiempo (TRIM)$\Gamma_{a}$y$\Gamma_{b}$. Para el caso del efecto Hall de espín cuántico,$\Gamma_{a} = 0$y$\Gamma_{b} = \pi$. Tomando una imagen especular con respecto a$\Gamma_{a}=0$y graficar en el dominio$k\in[-\pi,\pi)$Puedes ver los conos de Dirac en$k=0$y$k=\pi$claramente. Para el modelo de Bernevig-Hughes-Zhang (BHZ), el cono de Dirac 1D aparece en$\Gamma_{a}=0$para$0 < M/B < 4$y en$\Gamma_{b}=\pi$para$4 < M/B < 8$pero no ambos a la vez. Por favor ver detalles en la referencia:

Shijun Mao, Yoshio Kuramoto, Ken-Ichiro Imura y Ai Yamakage. " Teoría analítica de los modos de borde en aisladores topológicos ". Revista de la Sociedad Física de Japón 79 , no. 12 (2010). ( ArXiv )

Nota: utilizan$\Delta/B$en lugar de$M/B$. Para obtener múltiples puntos de Dirac, como en la Fig. 3, necesitamos un modelo matemáticamente más complejo que el BHZ.