¿Es el efecto Magnus un corolario del principio de Bernoulli?

Esta es una pregunta excelente y astuta. En última instancia, todo se reduce a experimentar: el modelo a continuación funciona bastante bien para muchos fluidos. Lo que esto debe significar, por lo tanto, es que la pérdida es lo suficientemente pequeña como para que cada partícula de fluido, al pasar por la región de perturbación, pierda una fracción de su energía que es lo suficientemente pequeña como para no alterar en gran medida el equilibrio de energía que subyace en la ecuación de Bernoulli. . Al mismo tiempo, la viscosidad es lo suficientemente grande como para que el cilindro pueda mantener la circulación en el flujo.

Una vez que uno ha establecido una circulación en un flujo, la circulación persistirá, a veces casi indefinidamente, con muy poca entrada adicional de energía. La ecuación de vorticidad muestra esto. Por lo tanto, puede pensar en una situación en la que el cilindro simplemente "sucede" que está sentado en un flujo con circulación sin preocuparse de cómo surgió esa circulación. Luego, se puede generar un modelo matemático sin pérdidas que de hecho muestre el efecto Magnus, que, a juzgar por la profundidad y la astucia de su pregunta, es posible que ya lo sepa. En este modelo, el flujo tiene una cierta circulación asumida y uno no piensa en cómo se produjo esta circulación. Estoy hablando de un flujo irrotacional no viscoso cuyo potencial de velocidad complejo es:

dónde$v\in\mathbb{C}$es la velocidad del fluido a una gran distancia del cilindro ( es decir, el cilindro está sumergido en un flujo inicialmente uniforme) y$\Gamma\in\mathbb{R}$es la circulación. La sección transversal del cilindro es la región$\{z\in\mathbb{C}|\;|z| \leq a\}$.

Este es un flujo de estado perfectamente estable y, una vez que se establece la circulación, se sostiene a sí mismo. No hay pérdida en ninguna parte del modelo, por lo que se aplica el Teorema de Blasius para calcular la sustentación, que es simplemente el cálculo cuantitativo alrededor del cilindro del argumento habitual del teorema de Bernoulli.

Así que podrías imaginar el siguiente experimento mental (no práctico). Tienes un fluido mágico cuya viscosidad puedes activar y desactivar a voluntad. Tienes un flujo uniforme en este fluido y sumerges tu cilindro en él y, con motores internos o lo que sea, haces girar el cilindro y la pérdida de viscosidad establecerá una circulación en el flujo. Luego apagas la viscosidad de repente. La circulación permanecerá en el flujo y ahora, en ausencia de pérdida, puede hacer el cálculo anterior y ver que efectivamente hay un ascensor. Tenga en cuenta que uno siempre necesita una circulación para generar una elevación distinta de cero.

Pregunta de OP

Estoy de acuerdo contigo en que la circulación es la clave del ascensor. Pero el argumento de Bernoulli es de alguna manera defectuoso porque la diferencia de velocidad no conduce a la diferencia de presión, es la circulación la que conduce a la diferencia de presión. El principio de Bernoulli siempre asume que no hay viscosidad ni vorticidad. ¿Crees que se abusa del Principio de Bernoulli incluso en un argumento heurístico?

Sigue siendo el argumento de Bernoulli el que describe el origen de los gradientes de presión y, por lo tanto, en última instancia, la fuerza. La circulación simplemente introduce una asimetría en el flujo que luego hace que la suma de las presiones sea distinta de cero.

El Teorema de Blasius es equivalente al principio de Bernoulli como se muestra a continuación: en una sección$\mathrm{d} z$de un contorno alrededor del cuerpo en el plano complejo, la fuerza de presión por el principio de Bernoulli es:

dónde$v$es como se define en (1) y$\rho$la densidad del fluido. Aquí, como en (1), la dirección del vector se muestra mediante la fase del número complejo. El contorno alrededor del borde del cuerpo es una línea de corriente, por lo que la función de corriente (parte imaginaria del potencial complejo) es constante a lo largo de ella. Por lo tanto, alrededor del borde del cuerpo,$|\mathrm{d}_z\Omega|^2 = (\mathrm{Re}(\mathrm{d}_z\Omega))^2 = (\mathrm{d}_z\Omega))^2$de modo que, al sumar (2) alrededor del contorno cerrado para encontrar la fuerza neta, obtenemos algo cercano a una integral de contorno ordinaria (al observar que$\oint v^2\,\mathrm{d}z=0$):

que se resuelve fácilmente para ser$F^*=-i\,v^*\,\rho\,\Gamma$de modo que$F=i\,v\,\rho\,\Gamma$, es decir, en ángulo recto con el flujo. Así que puedes ver que el resultado calculado a partir del principio de Bernoulli te dice que la sustentación es proporcional a la circulación.

Como se muestra en la figura, el agua que gira en el balde se volverá cóncava y cuanto más rápida sea la rotación, más cóncava será la superficie del agua. Esto muestra que a cierta altura H, cuanto más cerca está el agua del centro de rotación, menor es la presión. Y cuanto más rápido gira el agua, menor es la presión del agua en el centro de rotación.

Como se muestra en la figura, debido a que el flujo de aire en el lado derecho de la pelota es opuesto a la dirección de rotación de la pelota, el flujo de aire en el lado derecho de la pelota gira lentamente; el flujo de aire en el lado izquierdo de la bola gira en la misma dirección que la dirección de rotación de la bola, por lo que el flujo de aire en el lado izquierdo de la bola gira rápido. De acuerdo con la conclusión sobre el balde, la presión en el lado izquierdo de la pelota debe ser menor que en el lado derecho de la pelota. Entonces, la pelota se ejercerá una fuerza F de derecha a izquierda.

Así que no uso el principio de Bernoulli para explicar el Efecto Magnus.

Soy aviador y, en mi opinión, el efecto Magnus contradice a Bernoulli de la siguiente manera: se nos enseña que el aumento de la velocidad provoca una reducción de la presión. El cilindro giratorio provoca un aumento de la velocidad del fluido en relación con la superficie del cilindro en un lado y una disminución en el otro lado. Por lo tanto, la reducción de la presión debería producirse en el lado que se mueve más rápido en la dirección general de movimiento del cilindro provocando una fuerza hacia el lado que se mueve en la dirección de desplazamiento. Sin embargo, vemos por observación que la fuerza actúa en la dirección opuesta.

No soy físico y no tengo ecuaciones para probar lo que voy a decir y podría estar completamente equivocado, pero he estado pensando en esta misma pregunta y me llevó a este hilo. Yo diría que el principio de Bernoulli debería actuar de manera opuesta al efecto Magnus. El movimiento de rotación crearía la alta velocidad, baja presión en el lado opuesto a donde el efecto magnus exhibe su fuerza. Disparo rifles y, por lo general, tengo pequeños cilindros que se alejan de mí en el sentido de las agujas del reloj (giro de la mano derecha). En un viento de izquierda a derecha, el efecto Bernoulli haría que el aire se acelerara sobre la parte superior del proyectil provocando una ligera elevación. Se ha demostrado que el efecto magnus en realidad causa una elevación negativa en estas condiciones. Pienso en el efecto magnus como una bola de billar que gira. A medida que la pelota golpea el parachoques con giro, rebotará en la pared y parte de su giro se convertirá en movimiento en la dirección del giro. Tal vez estoy muy lejos, pero así es como lo veo.