¿Es el modelo estándar de Lotka-Volterra (LV) un ajuste exacto para la dinámica de insulina-glucosa (IG)? No. ¿Puede un modelo similar construido sobre los mismos principios capturar la mayoría de las características esenciales de la dinámica de IG? Absolutamente _

Cómo capturar la mayor parte de la dinámica de insulina-glucosa utilizando un modelo de Lotka-Volterra ligeramente modificado

Podemos averiguar cómo cambiar las ecuaciones de LV para que se ajusten a la dinámica de IG al averiguar cómo han cambiado nuestras suposiciones. Como mencionó Daan, ni la insulina ni la glucosa se autorreproducen. Así que eliminaremos esos términos de la ecuación y representaremos una entrada de glucosa (como, por ejemplo, de una comida) como un simple pico lineal dependiente del tiempo. Tus ecuaciones de tasa ahora se verán así:

$\frac{dx}{dt} = \alpha[t_{gi} < t< t_{gf}]-\beta x y$

$\frac{dy}{dt} = \delta x-\gamma x y$

dónde$x$es la concentración de glucosa,$y$es la concentración de insulina, y$[t_{gi} < t< t_{gf}]$es igual a 1 si la hora actual$t$es mayor que el momento en que comienza el pico de glucosa$t_{gi}$y menos que el momento en que termina el pico de glucosa$t_{gf}$, y es igual a cero si el tiempo$t$no cumple con esta condición.

Simulación de la dinámica de insulina-glucosa utilizando el modelo LV anterior

Ejecuté una simulación del modelo anterior en Matlab, y así es como se ve:

Las características básicas de la dinámica de insulina-glucosa del gráfico de ejemplo que publicó el OP están presentes. Al igual que en el sistema real, primero los picos de glucosa, luego los picos de insulina después de un breve retraso, luego ambos vuelven a la línea de base.

Con algunas pequeñas mejoras, el modelo LV puede capturar la dinámica del infame fenómeno del "choque de azúcar".

Ahora para la parte realmente genial.

Como se puede ver en el gráfico de OP, los niveles de glucosa tienden a caer un poco por debajo de su línea de base después de un gran pico de glucosa. Esta es la base fisiológica del bajón de azúcar que la gente a veces sufre un poco después de comer algo muy azucarado como una barra de chocolate. Independientemente de si los síntomas psicológicos realmente ocurren , la caída en los niveles de glucosa es algo real.

Para que un modelo se considere "bueno", debe poder capturar este tipo de fenómenos complejos pero importantes en sus sistemas subyacentes. La caída de glucosa no apareció en mi modelo LV original, por lo que la pregunta es, ¿se puede modificar el modelo de una manera simple para que capture la caída? ¡Vamos a darle otra oportunidad!

Parte del problema de tratar de estudiar los fenómenos relacionados con los niveles de referencia utilizando el modelo anterior es que los niveles de referencia tanto de insulina como de glucosa se fijan efectivamente en 0 en ese modelo. Podemos establecer los niveles de referencia agregando lo que se denomina un término de producción de orden cero (esencialmente, una constante fija que no se multiplica por la concentración de nada) a cada una de nuestras ecuaciones de tasa. Las ecuaciones de velocidad ahora se ven como:

$\frac{dx}{dt} = \alpha[t_{gi} < t< t_{gf}]+\epsilon-\beta x y$

$\frac{dy}{dt} = \delta x+\eta-\gamma x y$

dónde$\epsilon$es el término de producción de glucosa de orden 0,$\eta$es el término de producción de insulina de orden 0, y todo lo demás es exactamente igual.

Simulación de la dinámica de insulina-glucosa utilizando el modelo LV "habilitado para inmersión"

Nuevamente usando Matlab, ejecuté una simulación del modelo LV "habilitado para inmersión":

y esta vez aparece el chapuzón.

Notas:

-El término con los tiempos en él se llama Iverson Bracket .

-Podría hacer que este modelo sea más relevante desde el punto de vista fisiológico mediante el uso de una función más compleja para el pico de glucosa, pero por motivos de simplicidad nos quedaremos con una función lineal. Una función más suave, como por ejemplo una función Hill, probablemente ayudaría a reproducir su gráfico original de la dinámica IG.

codigo matlab

function dxdt = insulin_glucose_birth_death_dxdt(t, x, kip, bip, kid, kgp, bgp, kgd)
dxdt = [kip*x(2) + bip - kid*x(1),
    kgp*(t>1 && t<2) + bgp - kgd*x(1)*x(2)];
end

function [t,x] = insulin_glucose_birth_death_odesol(tspan, x0, kip, bip, kid, kgp, bgp, kgd)
opts=odeset();
[t,x]=ode45(@(t,x)insulin_glucose_birth_death_dxdt(t, x, kip, bip, kid, kgp, bgp, kgd), tspan, x0, opts);
end

function [t,x] = insulin_glucose_birth_death_plot(tspan, x0)
%run with:
%   tspan = [-10, 5];
%   x0 = [0,0];
%   [t,x] = insulin_glucose_birth_death_plot(tspan,x0);

kip = 2;
bip = 0;  % set to .01 for the "dip" simulation
kid = 1;
kgp = .1;
bgp = 0;   % set to .1 for the "dip" simulation
kgd = 50;

[t,x] = insulin_glucose_birth_death_odesol(tspan, x0, kip, bip, kid, kgp, bgp, kgd);

figure(gcf)
hold on
plot(t, x(:,1), 'b', t, x(:,2), 'r')
legend('insulin','glucose')
xlabel('time')
ylabel('concentration')
axis([0 inf -inf inf])
hold off
end

Interpretando su pregunta como "¿sería el modelo depredador-presa de Lotka-Volterra un buen modelo para el sistema de glucosa-insulina?" mi respuesta es no". Las ecuaciones depredador-presa capturan suposiciones sobre cómo la presa y el depredador interactúan entre sí, y cómo les iría solos. Estas suposiciones no son equivalentes a ninguna suposición razonable sobre el sistema glucosa-insulina. El hecho de que tanto el tamaño de la población de presas y depredadores como las concentraciones de glucosa e insulina oscilen no es suficiente para decir que los dos sistemas pueden modelarse mediante las mismas ecuaciones. De hecho, las oscilaciones en las figuras que muestras son muy diferentes entre sí.

Repasemos algunos de los supuestos del modelo depredador-presa de Lotka-Volterra para ver por qué la mayoría de ellos no se parecen en nada al sistema glucosa-insulina.

1) En ausencia de depredadores, la población de presas crece exponencialmente sin límites. Esto se sigue de la autorreproducción. Si la glucosa se comparara con una presa, la glucosa aumentaría exponencialmente en ausencia de insulina. Si la presa se comparara con la insulina, la insulina aumentaría exponencialmente en ausencia de glucosa. ¿Es eso razonable?

2) La tasa de crecimiento de la población de la presa se reduce en una cantidad proporcional al tamaño de la población tanto de la presa como del depredador. La suposición subyacente es que la presa y el depredador se encuentran a un ritmo proporcional a sus densidades de población y que una fracción de estos encuentros conduce a la muerte de la presa. La suposición sobre la tasa de encuentro se denomina Ley de acción de masas y se aplica bien a los compuestos químicos en un líquido, como la glucosa y la insulina. Sin embargo, la glucosa y la insulina no interactúan directamente, y no me queda claro cómo funcionarían las suposiciones realistas sobre su interacción.

3) Nacen nuevos depredadores a una tasa proporcional a la tasa de encuentro en 2). En el sistema glucosa-insulina esto significaría que se produce más insulina si hay más insulina presente. ¿Es eso realista?

La respuesta a estas preguntas es, según yo, "no".

(En una nota al margen: el modelo Lotka-Volterra es estructuralmente inestable, lo que significa que el más mínimo cambio en los supuestos alteraría fundamentalmente el resultado del modelo. Uno de estos resultados son ciclos depredador-presa neutralmente estables, es decir, ciclos de los cuales el la amplitud y el período dependen de los tamaños iniciales de la población. Cambiar la suposición de que la población de presas crece exponencialmente al incluir un término:$m \times x^2$a la primera ecuación cambia las oscilaciones en oscilaciones amortiguadas para que las poblaciones se asienten en un equilibrio estable).

No, el modelo Lotka-Volterra es una descripción de la dinámica depredador-presa. Aunque en algunos aspectos simplifica demasiado, es muy adecuado para educar la dinámica de la población y la investigación básica.

La fisiología de la homeostasis de los carbohidratos es diferente. Aunque, de forma similar al recuento de población en el modelo de Lotka-Volterra, la eliminación tanto de glucosa como de insulina depende de sus respectivas concentraciones (lo que representa una forma muy básica de autorregulación), su interdependencia es diferente. Aquí, tenemos que considerar los procesos de distribución, la unión al receptor, la cinética enzimática, etc.

Numerosos modelos matemáticos y cibernéticos han intentado describir la homeostasis de glucosa e insulina. Los siguientes artículos de revisión proporcionan una buena visión general del tema:

1. Ajmera I, Swat M, Laibe C, Novère NL, Chelliah V. El impacto de los modelos matemáticos en la comprensión de la diabetes y las complicaciones relacionadas. CPT Pharmacometrics Syst Pharmacol. 2013 10 de julio; 2: e54. doi 10.1038/psp.2013.30 . PMID 23842097 ; PMCIDPMC3731829 .

2. Palumbo P, Ditlevsen S, Bertuzzi A, De Gaetano A. Modelado matemático del sistema glucosa-insulina: una revisión. Matemáticas Biosci. 2013 agosto; 244 (2): 69-81. doi 10.1016/j.mbs.2013.05.006 . Epub 2013 1 de junio. Revisión. PMID 23733079 .

Hay una diferencia importante en la dinámica de las 2 situaciones.

El modelo Lotka-Volterra sufre repetidas oscilaciones en los niveles de depredador y presa. Los cambios en una población afectan los cambios en la otra población y viceversa .

En el modelo de control de glucosa, lo que ha trazado son los cambios en los niveles de glucosa e insulina luego de una comida o infusión de glucosa. Tenga en cuenta que no hay un pico posterior de glucosa después de que los niveles de insulina han disminuido, a diferencia de los picos en los niveles de las presas después de que los niveles de los depredadores han disminuido en el modelo de Lotka-Volterra.