¿Es cierto que el problema de los 3 cuerpos no se puede resolver usando las cuatro funciones básicas, radicales e integrales?

En cierto sentido, incluso resolver el problema de los dos cuerpos en función del tiempo es irresoluble en términos de las funciones elementales. El problema es que la solución implica resolver el inverso del problema de Kepler,$M = E - e \sin E$. Esta función inversa es trascendental y no puede expresarse en términos de las funciones elementales. Dicho esto, es bastante fácil de resolver para$E$con un grado arbitrario de precisión.

Con respecto al problema de los tres cuerpos, hay dos casos especiales que son trivialmente solucionables. Estos son los puntos triangulares de Lagrange (L4 y L5) para el problema circular restringido de tres cuerpos. Los tres puntos de Lagrange lineales son soluciones de polinomios de quinto orden y las soluciones no se pueden expresar mediante funciones elementales. Pero una vez más, es bastante fácil resolver las ubicaciones de los tres puntos de Lagrange lineales usando técnicas de aproximación.

Esos puntos de Lagrange del problema de tres cuerpos restringidos son casos especiales. El caso genérico del problema de los tres cuerpos es notoriamente insoluble en términos de las funciones elementales. Hay una solución de series infinitas, pero nadie la usa. Hace más de un siglo hubo un premio por resolver el problema de los tres cuerpos. Karl Frithiof Sundman recibió ese premio en 1912 por demostrar que existe una solución en forma de una serie infinita en la que los términos son potencias cada vez mayores de la raíz cúbica del tiempo. La razón por la que nadie usa esta solución es que la cantidad de términos requeridos puede ser enorme. Ocho millones de términos no es suficiente. Es más del orden de$10^{8000000}$términos.