Órbitas de herradura e integración en C

No revisaré sus ecuaciones con cuidado ni su código, pero dado que no mencionó las posiciones iniciales exactas que usó, supongo que no resolvió primero un vector de estado de órbita de herradura estable.

Las posiciones del Sol y la Tierra están fijas en el marco sinódico (giratorio). Pero, ¿dónde empezaste tu astroide? Para una posición inicial determinada, también debe darle al asteroide la velocidad inicial correcta (velocidad y dirección), de lo contrario, es posible que no sea estable y simplemente se desvíe o gire en espiral como mencionó.

Eche un vistazo a esta respuesta donde muestro las ecuaciones correctas y luego resuelvo las órbitas de herradura estables antes de trazarlas.

Comienzo con una posición en el eje x, frente a la Tierra, y un poco más lejos o más cerca del Sol que la Tierra. Luego lo lanzo a baja velocidad (en el marco giratorio) exactamente en la dirección del eje y. Observo que se desplaza hacia la Tierra y luego regresa como un boomerang a la región del área de inicio. Cuando vuelve a cruzar el eje x, compruebo qué tan cerca está la velocidad de y. Utilizo un solucionador de optimización cero brentqpara ajustar la velocidad inicial hasta que la velocidad de retorno está exactamente en la dirección opuesta.

Si eso es cierto, entonces la órbita será periódica y repetitiva, y podemos llamarla una órbita obsoleta bajo las restricciones del CR3BP.

De esta respuesta (hay mucho más para leer allí, ¡incluidas varias referencias!):

$$\ddot{x} = x + 2\dot{y} - \frac{(1-\mu)(x+\mu)}{r_1^3} - \frac{\mu(x-1+\mu)}{r_2^3}$$ $$\ddot{y} = y - 2\dot{x} - \frac{(1-\mu)y}{r_1^3} - \frac{\mu y}{r_2^3}$$ $$\ddot{z} = -\frac{(1-\mu) z}{r_1^3} - \frac{\mu z}{r_2^3}$$

arriba: semiciclos de algunas órbitas de herradura tambaleantes

arriba: tiempos hasta los primeros cruces del eje x de las mismas órbitas de herradura tambaleantes, utilizadas para calcular tiempos de medio ciclo.

arriba: tiempos de ciclo de este cálculo (puntos negros) frente al método de estimación del período sinódico (puntos rojos). Buen acuerdo cualitativo. También las velocidades iniciales y en cada punto inicial en x.

a continuación: secuencia de comandos de Python para estas parcelas.

def x_acc(x, ydot):
    r1    = np.abs(x-x1)
    r2    = np.abs(x-x2)
    xddot = x + 2*ydot  -  ((1-mu)/r1**3)*(x+mu) - (mu/r2**3)*(x-(1-mu))
    return xddot

def C_calc(x, y, z, xdot, ydot, zdot):
    r1 = np.sqrt((x-x1)**2 + y**2 + z**2)
    r2 = np.sqrt((x-x2)**2 + y**2 + z**2)
    C = (x**2 + y**2 + 2.*(1-mu)/r1 + 2.*mu/r2 - (xdot**2 + ydot**2 + zdot**2))
    return C

def deriv(X, t): 
    x, y, z, xdot, ydot, zdot = X
    r1 = np.sqrt((x-x1)**2 + y**2 + z**2)
    r2 = np.sqrt((x-x2)**2 + y**2 + z**2)
    xddot = x + 2*ydot  -  ((1-mu)/r1**3)*(x+mu) - (mu/r2**3)*(x-(1-mu))
    yddot = y - 2*xdot  -  ((1-mu)/r1**3)*y      - (mu/r2**3)*y
    zddot =             -  ((1-mu)/r1**3)*z      - (mu/r2**3)*z
    return np.hstack((xdot, ydot, zdot, xddot, yddot, zddot))

# http://cosweb1.fau.edu/~jmirelesjames/hw4Notes.pdf

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint as ODEint
from scipy.optimize import brentq

halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2)]

mu = 0.001

x1 = -mu
x2 = 1. - mu

x = np.linspace(-1.4, 1.4, 1201)
y = np.linspace(-1.4, 1.4, 1201)

Y, X = np.meshgrid(y, x, indexing='ij')
Z    = np.zeros_like(X)

xdot, ydot, zdot = [np.zeros_like(X) for i in range(3)]

C = C_calc(X, Y, Z, xdot, ydot, zdot)
C[C>8] = np.nan

if True:
    plt.figure()
    plt.imshow(C)
    plt.colorbar()
    levels = np.arange(2.9, 3.2, 0.04) 
    CS = plt.contour(C, levels,
                 origin='lower',
                 linewidths=2) 
    plt.show()

ydot0s   = np.linspace(-0.08, 0.08, 20)
x0ydot0s = []
for ydot0 in ydot0s:
    x0, infob =  brentq(x_acc, -1.5, -0.5, args=(ydot0), xtol=1E-11, rtol=1E-11,
                           maxiter=100, full_output=True, disp=True)
    x0ydot0s.append((x0, ydot0))

states = [np.array([x0, 0, 0, 0, ydot0, 0]) for (x0, ydot0) in x0ydot0s]

times  = np.arange(0, 150, 0.01)

results = []
for X0 in states:
    answer, info = ODEint(deriv, X0, times, atol = 1E-11, full_output=True)
    results.append(answer.T.copy())

resultz = []
for x0ydot0, thing in zip(x0ydot0s, results):
    y     = thing[1]
    check = y[2:]*y[1:-1] < 0
    zc    = np.argmax(y[2:]*y[1:-1] < 0) + 1
    if zc > 10:
        resultz.append((thing, zc, x0ydot0))

if True:
    plt.figure()
    hw = 1.6
    for j, (thing, zc, x0ydot0) in enumerate(resultz):
        x, y = thing[:2,:zc]
        plt.plot(x, y)
    plt.xlim(-hw, hw)
    plt.ylim(-hw, hw)
    plt.plot([x1], [0], 'ok')
    plt.plot([x2], [0], 'ok')
    plt.show()

if True:
    plt.figure()
    for j, (thing, zc, x0ydot0) in enumerate(resultz):
        x, y = thing[:2]
        plt.plot(times[:zc], y[:zc])
    plt.show()

if True:
    plt.figure()
    for j, (thing, zc, x0ydot0) in enumerate(resultz):
        x0, ydot0 = x0ydot0
        cycle_time = 2. * times[zc] / twopi
        ratio = abs(x0/x2)
        T_simple_model = twopi * abs(x0/x2)**1.5
        T_synodic_simple_model = 1. / (1. - twopi/T_simple_model) # https://astronomy.stackexchange.com/a/25002/7982
        plt.subplot(2, 1, 1)
        plt.plot(x0, cycle_time, 'ok')
        plt.plot(x0, abs(T_synodic_simple_model), 'or')
        plt.subplot(2, 1, 2)
        plt.plot(x0, ydot0, 'ok')
    plt.subplot(2, 1, 1)
    plt.xlabel('x0', fontsize=16)
    plt.ylabel('cycle times (periods)', fontsize=16)
    plt.subplot(2, 1, 2)
    plt.xlabel('x0', fontsize=16)
    plt.ylabel('ydot0', fontsize=16)
    plt.show()