Relación entre momento angular y lineal

Recientemente, me encontré con este interesante problema sobre las bolas de billar.

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La pregunta nos pide que determinemos la altura. h tal que la pelota ruede sin resbalar inmediatamente después de la colisión.

Lo primero que me vino a la mente después de leer esta pregunta fue que el momento angular y el momento lineal deben conservarse y la relación entre la velocidad angular y la de traslación debe ser v = r ω , tanto antes como después de la colisión.

De "Introducción a la mecánica clásica" de David Morin, existe esta ecuación que relaciona el cambio en el momento lineal con el cambio en el momento angular después de experimentar un impulso.

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Si tuviera que usar esta ecuación para esta pregunta, entonces sería

I ( ω a F t mi r − ω b mi F o r mi ) = METRO ( v a F t mi r − v b mi F o r mi ) h ,

h = ( 2 / 5 METRO R 2 + METRO R 2 ) ( ω a F t mi r − ω b mi F o r mi ) METRO R ( ω a F t mi r − ω b mi F o r mi )

Esto nos daría una buena respuesta: h = 7 5 R .

Sin embargo, para la ecuación: Δ L → = R → × Δ pag → para aplicar, solo funciona cuando la fuerza, F ( t ) , se aplica en una posición. En este caso, sin embargo, hay múltiples fuerzas en juego (aplicadas también en diferentes posiciones), a saber, la fuerza normal ejercida por el voladizo, el peso y la fuerza normal ejercida por el suelo.

¿Cuál sería una mejor manera de abordar este problema?

Respuestas (1)

La ecuación 8.6 parece irrelevante. L → = r → × pag → es el momento angular del centro de masa para rotaciones alrededor del origen del sistema de coordenadas la posición r → se está midiendo en.

Aquí está la cosa: el momento angular simplemente no se conserva en este problema. El voladizo ejerce un par sobre la bola a menos que h = R . La energía cinética se conserva, y eso es todo. Estoy seguro de que puede resolver el problema usando ese hecho junto con el hecho de que la fuerza que genera el impulso para reflejar el momento de la pelota también tiene que reflejar el momento angular. Entonces

F → Δ t = Δ pag → τ → Δ t = Δ L → .

Rodar sin deslizarse significa que el momento angular que linda con el centro de masa de la pelota es

L = I ω = 2 5 METRO R 2 v R = 2 5 METRO R v .
Debido a que tanto el momento lineal como el angular se reflejan Δ pag = 2 METRO v y Δ L = 4 5 METRO R v . Para el momento angular con respecto al centro de masa de la pelota, τ = F ( h − R ) .

Reúna todo eso y resuélvalo, y obtendrá h = 7 R / 5 .

¿Por qué podemos ignorar la fuerza y ​​el peso normal? Esa es la clave de todos estos problemas de torque: debe elegir lo que considera que es el eje de rotación, por lo que también podría elegir algo conveniente. Arriba, asumí implícitamente que estábamos pensando en la rotación sobre el centro de masa de la pelota . El peso y la fuerza normal se cancelan en el mundo de F = metro a , ¿por qué son irrelevantes para este problema en el mundo de τ = I α cuando consideramos rotaciones alrededor del centro de masa? Además, ignoramos la fricción para la aproximación de rodadura sin deslizamiento.

Intente hacer el problema nuevamente para rotaciones alrededor del punto de contacto entre la pelota y la mesa para ver si puede obtener la misma respuesta. :)

Hola, ¿por qué se conserva la energía en este caso? ¿No es posible que esto sea una colisión inelástica? Gracias :)
@bobthelegend No tiene que asumir que la colisión es elástica. Puedes decir que la velocidad final es una fracción de la velocidad inicial, v F = F v 0 , por ejemplo, pero todo lo que realmente harás es complicar un poco el álgebra. Además, si observa bolas de billar en una mesa real, las colisiones son casi elásticas.
Veo. Tengo otra pregunta. La fuerza (F) que ejerce el voladizo sobre la bola de billar está dirigida hacia su centro. Pero veo que usaste la misma fuerza tanto para el torque como para el momento lineal. ¿Pero sólo la componente horizontal de la fuerza contribuiría al momento lineal?
"La fuerza (F) que ejerce el voladizo sobre la bola de billar está dirigida hacia su centro". ¿Por qué piensas eso? Ese no puede ser el caso o no podría ejercer un par que cambiaría la rotación de la bola sobre su centro de masa. Puede agregar "la fuerza de saliente supuesta era horizontal" a las suposiciones simplificadas.
Pensé que la fuerza es una fuerza normal y debe ser perpendicular a la superficie.
@bobthelegend perpendicular a una esquina no es una dirección bien definida. Además, aquí también intervienen fuerzas de fricción. Entonces, imagine el movimiento instantáneo de la parte de la pelota que tocará la repisa justo antes de que golpee: hacia abajo y hacia la derecha. Dado que la fricción se opone al movimiento relativo, producirá una fuerza hacia arriba y hacia la izquierda, lo que hará que el brazo de palanca sea más largo para agregar torsión. Puede agregar un componente no horizontal a la fuerza y ​​ver los resultados, si lo desea.
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