Entropía de von Neumann de un estado conjunto

Question

Entropía de von Neumann de un estado conjunto

Anónimo

Definición 1 La entropía de von Neumann de una matriz de densidad viene dada por

S (ρ) := - T r [ρ en ρ] = H [λ (ρ)]

$S(\rho) := - \mathrm{Tr}[\rho \ln \rho] = H[\lambda (\rho)]$ dónde

H [λ (ρ)]

$H[\lambda (\rho)]$ es la entropía de Shannon del conjunto de probabilidades

λ (ρ)

$\lambda (\rho)$ (que son valores propios del operador de densidad

ρ

$\rho$ ).

Definición 2 Si se prepara un sistema en conjunto $\{ p_j, \rho_j \}$ luego definimos el Holevo $\chi$ cantidad para el conjunto por

x := S (ρ) - \sum_{j} {pag}_{j} S (ρ_{j})

$\chi := S(\rho) - \sum_j p_j S(\rho_j)$

Pregunta corta: Vamos $A$ y $B$ ser dos sistemas cuánticos en un estado de la forma

ρ^{(A B)} = \sum_{i} q_{i} | a_{i}^{(A)} ⟩ ⟨ a_{i}^{(A)} | \otimes ρ_{i}^{(B)}

$\rho^{(AB)} = \sum_i q_i |a_{i}^{(A)} \rangle \langle a_{i}^{(A)} | \otimes \rho_{i}^{(B)}$ donde los estados

| a_{i}^{(A)} ⟩

$|a_{i}^{(A)} \rangle$ son ortogonales. ¿Qué propiedad de la entropía de von Neumann implica que la entropía de von Neumann del estado conjunto es

S (ρ^{(A B)}) = H (\vec{q}) + \sum_{i} q_{i} S (ρ_{i}^{(B)}) ?

$S(\rho^{(AB)}) = H(\vec{q}) + \sum_i q_i S(\rho_{i}^{(B)})?$

Propuesta: estoy bastante seguro de que hace uso de las siguientes propiedades de la entropía de von Neumann:

S (ρ_{A} \otimes ρ_{B}) = S (ρ_{A}) + S (ρ_{B})

$S(\rho_{A} \otimes \rho_{B}) = S(\rho_{A}) + S(\rho_{B})$ y si

ρ_{A} = \sum_{x} p_{x} | ϕ_{x} ⟩ ⟨ ϕ_{x} |

$\rho_{A} = \sum_{x} p_x | \phi_x \rangle \langle \phi_x|$ entonces

S (ρ_{A} \otimes ρ_{B}) = H (X) + S (ρ_{B})

$S(\rho_{A} \otimes \rho_{B}) = H(X) + S(\rho_{B})$ dónde

X = {| ϕ_{x} ⟩, p_{x}}

$X = \{| \phi_x \rangle, p_x \}$ .

Gracias por cualquier ayuda.

Respuestas (1)

Entropía de von Neumann de un estado conjunto

montaña mao · Answer 1

\begin{matrix} (1) & ρ^{(A B)} = \sum_{i} q_{i} | a_{i}^{(A)} ⟩ ⟨ a_{i}^{(A)} | \otimes ρ_{i}^{(B)} \end{matrix}

$\rho^{(AB)} = \sum_i q_i |a_i^{(A)}\rangle \langle a_i^{(A)}| \otimes \rho_i^{(B)} \tag 1$ Tenga en cuenta que el subsistema

A

$A$ y

B

$B$ son separables, vamos

\begin{matrix} (2) & ρ_{i}^{(B)} = \sum_{j} λ_{i}^{j} | {b_{i}^{j}}^{(B)} ⟩ ⟨ {b_{i}^{j}}^{(B)} | . \end{matrix}

$\rho^{(B)}_i = \sum_j \lambda^j_i |{b_i^j}^{(B)}\rangle \langle {b_i^j}^{(B)}|. \tag 2$ Ecuación sustituta

(2)

$(2)$ en

(1)

$(1)$ :

\begin{aligned} S (ρ^{(A B)}) & = - \sum_{i j} q_{i} λ_{i}^{j} en (q_{i} λ_{i}^{j}) \\ = - \sum_{i j} q_{i} λ_{i}^{j} (en q_{i} + en λ_{i}^{j}) \\ = - \sum_{i} q_{i} en q_{i} - \sum_{i} q_{i} \sum_{j} λ_{i}^{j} en λ_{i}^{j} \\ (3) & = H (\vec{q}) + \sum_{i} q_{i} S (ρ_{i}^{(B)}) . \end{aligned}

$\eqalignno{ S(\rho^{(AB)}) &= -\sum_{ij} q_i \lambda_i^j \ln(q_i \lambda_i^j) \\ &= -\sum_{ij} q_i \lambda_i^j (\ln q_i + \ln \lambda_i^j) \\ &= -\sum_i q_i \ln q_i - \sum_i q_i \sum_j \lambda_i^j \ln \lambda_i^j \\ &= H(\vec q) + \sum_i q_i S(\rho_i^{(B)}). &(3) }$

Gracias por su respuesta. Solo quiero confirmar el primer paso después de sustituir (2) en (1), es decir $S (ρ^{(A B)}) = - \sum_{i j} q_{i} λ_{i}^{j} en (q_{i} λ_{i}^{j}) .$ $S(\rho^{(AB)}) = -\sum_{ij} q_i \lambda_i^j \ln(q_i \lambda_i^j).$ ¿El razonamiento es el siguiente? Después de sustituir (2) en (1) obtenemos $\begin{aligned} ρ^{(A B)} & = \sum_{i} \sum_{j} q_{i} λ_{i}^{j} | a_{i}^{(A)} ⟩ ⟨ a_{i}^{(A)} | \otimes \sum_{j} λ_{i}^{j} | b_{i}^{j (B)} ⟩ ⟨ b_{i}^{j (B)} | \\ = \sum_{i} \sum_{j} q_{i} λ_{i}^{j} | a_{i}^{(A)} ⟩ ⟨ a_{i}^{(A)} | \otimes | b_{i}^{j (B)} ⟩ ⟨ b_{i}^{j (B)} | \end{aligned}$ $\begin{align} \rho^{(AB)} &= \sum_{i}\sum_{j}q_{i} \lambda_{i}^{j} | a_{i}^{(A)} \rangle \langle a_{i}^{(A)}| \otimes \sum_{j}\lambda_{i}^{j}|b_{i}^{j(B)} \rangle \langle b_{i}^{j(B)}| \\ &= \sum_{i}\sum_{j}q_{i}\lambda_{i}^{j}|a_{i}^{(A)} \rangle \langle a_{i}^{(A)}| \otimes |b_{i}^{j(B)} \rangle \langle b_{i}^{j(B)}| \end{align}$
Por lo tanto, usamos nota de que desde $|a_{i}^{(A)} \rangle$ diagonaliza $\rho^{A}$ y $|b_{i}^{j(B)} \rangle$ diagonaliza $\rho^{B}$ resulta que $|a_{i}^{A} \rangle \otimes |b_{i}^{j(B)} \rangle$ diagonaliza $\rho^{(AB)}$ con valores propios $q_{i} \lambda_{i}^{j}$ ¿Entonces aplicamos la definición de entropía de von Neumann a esto?
Sí, la clave es que A y B son separables. Es más complicado cuando los sistemas están correlacionados.

Entropía de von Neumann de un estado conjunto

Anónimo

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montaña mao

usuario165535

usuario165535

montaña mao

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