Energía requerida para acelerar desde diferentes marcos de referencia

En la relatividad especial, la transición de un marco a otro viene dada por los impulsos de Lorentz. Esto no es lo mismo que una aceleración, sino una transformación que relaciona las observaciones de un marco con otro. Podemos pensar en una aceleración como una sucesión de impulsos de Lorentz infinitesimales que asignan un cuadro a otro.

La distancia infinitesimal en el espacio-tiempo plano$ds$para una partícula está dada por

$$ds^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dx^2$$ donde esta distancia $ds – cd\tau$, para $\tau$el tiempo medido por un reloj en el marco de la partícula. Consideremos el movimiento de esta partícula en el $x$dirección. Ahora divide por $ds^2$Llegar $$1 = \left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 - \frac{1}{c^2}\left(\frac{dx}{d\tau}\right)^2.$$ Podemos escribir esto de acuerdo a cuatro velocidades $U_t = \frac{dt}{d\tau}$, $U_x = \frac{dx}{d\tau}$ $$1 = U_t^2 - U_x^2.$$ Ahora toma la derivada de esto con respecto a $\tau$de modo que $$0 = \left(\frac{dU_t}{d\tau}\right)U_t - \frac{1}{c^2}\left(\frac{dU_x}{d\tau}\right)U_x.$$ Esto lleva a la interesante observación de que en el espacio-tiempo la cuatro aceleraciones es perpendicular a la cuatro velocidades.

Este sistema de ecuaciones conduce a una solución para la ecuación de cuatro velocidades

$$U_t = cosh(g\tau),~U_x = c~sinh(g\tau),$$ para $g$la aceleración Podemos ver que la ecuación define una hipérbola en $t, x$coordenadas Para grande $\tau$que la hipérbola es aproximadamente $U_t^2 = U_x^2$, y no es difícil conseguirlos en el $t, x$coordenadas También podemos ver que la velocidad basada en coordenadas es $$\frac{dx}{dt} = \frac{U_x}{U_t} = c~tanh(gt),$$ lo que indica que esta partícula tiene asíntotas a la velocidad de la luz como $\tau\rightarrow\infty$.

Cuando se trata de energía, apelamos al intervalo de cuatro impulsos en la relatividad especial.

$$m^2 = E^2 - p^2$$ dónde $E = mU_t$y $p = mU_x$son la energía y el momento espacial respectivamente. Esto se puede ver usando las propiedades de las funciones trigonométricas hiperbólicas. Podemos ver de inmediato que la energía está dada por una función de coseno hiperbólico que diverge enormemente como $\tau\rightarrow\infty$.

El principio fundamental de la relatividad (tanto especial como general) es que las leyes de la física son las mismas para todos los observadores. Expresamos esto de forma más natural usando el principio de covarianza general, lo que significa que las leyes de la física se expresan usando cantidades tensoriales (incluidos vectores y escalares). Entonces podemos entender las leyes de la física más fácilmente en términos de cantidades propias , es decir, en términos de propiedades medidas por un observador que se mueve con el objeto que se mide.

Si te estás moviendo muy rápido en comparación con otro observador, no te estás moviendo cerca de la velocidad de la luz en tu propio marco de referencia, porque la velocidad de la luz es una propiedad fundamental en física y es la misma para todos los observadores. Aplica una aceleración adecuada y requerirá una cierta cantidad de energía, pero la velocidad de la luz permanece constante.

Ahora considéralo desde el punto de vista del otro observador. Él no mide tus cantidades adecuadas directamente, pero si ha expresado las leyes de la física correctamente en términos de tensores, puede calcular tu aceleración adecuada y puede calcular la cantidad de energía que usaste. Él pensará que te estás acercando a la velocidad de la luz, pero no pensará que has aumentado mucho tu velocidad. La aceleración aparente que ve no es una cantidad adecuada, y se está engañando a sí mismo si la usa en un cálculo de energía sin calcular primero las cantidades adecuadas apropiadas.