Energía potencial en E2f=(mc2)2+(pc)2Ef2=(mc2)2+(pc)2E_f^2=(mc^2)^2+(pc)^2?

La fórmula que cita no contiene la energía potencial, es válida para una partícula libre (es decir, una partícula que no se ve afectada por el potencial externo). Puede vincularlo a la mecánica clásica evaluándolo para pequeños valores de$p$(más precisamente:$p \ll c$):

$$E = \sqrt{\left(mc^2\right)^2 + p^2 c^2} = c \sqrt{m^2c^2 + p^2} = \cdots$$

$$\cdots = mc^2 \sqrt{1 + \frac{p^2}{m^2 c^2}} \approx mc^2 \left( 1 + \frac{p^2}{2 m^2 c^2} \right) = \cdots$$

$$\cdots = \text{constant} + \frac{p^2}{2m} = \text{constant} + \frac{1}{2} m v^2$$

Aquí vemos que la fórmula relativista en el límite no relativista (pequeñas velocidades) se reduce a la clásica, salvo por una energía constante asociada a la masa del objeto, que es un concepto puramente relativista.

La constante es, por cierto,$mc^2$, y eso explica por qué la fórmula$E=mc^2$es tan famoso, ya que capta uno de los conceptos más sorprendentes de la relatividad especial: un objeto solo por existir y tener masa$m$, tiene una energía$E=mc^2$, es decir, la energía del resto.

La energía en su ecuación es para un cuerpo rígido libre en ausencia de potencial. Podemos ver esto si comenzamos con un Lagrangiano con una función escalar,$\Phi(q)$, y recuerda$\gamma$es una función de$\dot{q}$,

$$L=T-V=-\gamma^{-1} (\dot{q}) \, mc^2-\Phi(q)$$ Entonces, si encontramos el impulso $$\pi=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=\gamma^{-2}\frac{\partial \gamma}{\partial \dot{q}}mc^2=\gamma m\dot{q}$$ Así, el hamiltoniano, $$H=\pi\dot{q}-L=\gamma m\dot{q}^2+\gamma^{-1} (\dot{q}) \, mc^2 + \Phi(q)$$ que da después de factorizar $\gamma mc^2$, $$H=\gamma mc^2(\frac{\dot{q}^2}{c^2}+\gamma^{-2})+\Phi(q)=\gamma mc^2+\Phi$$ El primer término es el que te gusta, y el segundo es la energía potencial si quieres.

En la fórmula estándar dada en la pregunta planteada, la energía potencial es cero. La fórmula se aplica solo a una partícula libre.

Para una partícula cargada de carga Q en un campo electromagnético, la fórmula correcta para la energía total (cinética más potencial) es

$$E= c\sqrt{(mc)^2 + (p+QA)^2} -QA_0,$$ (p.ej, $Q=-e$para un electrón) donde $A$y $A_0$son la parte espacial (vector) y la parte temporal (escalar) del potencial de calibre electromagnético. Aquí $-QA_0$es la energía potencial.

Para las fuerzas gravitatorias, la fórmula correcta viene dada por la solución$E=p_0$de la ecuacion$G(p,p_0)=const$, donde$G$es una forma cuadrática lorentziana (cuyos coeficientes definen el tensor métrico) en la parte espacial$p$y la parte del tiempo$p_0$del vector relativista de 4 impulsos. Aquí, una energía potencial puede identificarse solo en un límite no relativista.

Si ambos tipos de fuerzas están presentes, la fórmula correcta viene dada por la solución$E=cp_0$de la ecuacion

$$G(p+QA,p_0+QA_0)=0$$ . Especializando la forma cuadrática para $G(p,p_0)=const(p_0^2-p^2)$da la fórmula anterior.

La energía potencial es propiedad de un sistema, no de partículas individuales. Incluso en la mecánica clásica esto es cierto. La forma habitual de decir la energía potencial de algo puede verse como un abuso de notación.

Entonces para una partícula$E=\gamma m c^2$no incluye la energía potencial, pero la energía del sistema total (una carga puntual y un capacitor, por ejemplo) incluye la energía potencial. La energía potencial desplaza la masa en reposo del sistema a partir de la suma de la masa de los componentes individuales (además del efecto del movimiento relativo).

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Otro punto de vista es que la energía potencial se almacena en los campos, por lo que el cambio en la masa en reposo se debe a la energía del campo.

La energía total es la energía en reposo más la energía cinética,$E_f=γmc^2$, podemos suponer que el término PC tiende a cero y, por lo tanto, la energía potencial es la energía total del objeto en reposo. Presentar claridad a tu pregunta nos inspira a mirar más allá del resto de la energía.$E=m_0c^2$del objeto y observe que a medida que aumenta la cantidad de movimiento, la energía cinética del objeto se vuelve mucho más importante que la energía del resto.

Veamos la energía y el momento en las transformaciones de Lorentz

Fuente de lo siguiente: De Michael Fowler, Universidad de Virginia

Tenemos una fórmula para la energía total E = KE + energía en reposo,

entonces podemos ver cómo la energía total varía con la velocidad.

La cantidad de movimiento varía con la velocidad como

¿Cómo depende la energía total de una partícula del momento?

Resulta útil tener una fórmula para E en términos de p.

Ahora

asi que

por lo tanto usando p = mv encontramos

Si p es muy pequeño, esto da

la fórmula clásica habitual.

Si p es muy grande, entonces$c^2p^2$>>$m_0^2c^4$, la fórmula aproximada es

$E=cp$

{Mi nota añadida aquí. Como$p$, el impulso es muy grande en su ecuación y como$mc^2$se vuelve insignificante y esencialmente podemos eliminarlo de su ecuación$E_f^2=(mc^2)^2+(pc)^2$y se quedan con$E^2=(pc)^2$& {soltar$(mc^2)^2$} y se fue con$E=pc$}

El alto límite de energía cinética: ¡la masa en reposo deja de ser importante!

Observe que este límite de alta energía es solo la relación energía-cantidad que Maxwell encontró verdadera para la luz, para todo$p$. Esto sólo podría ser cierto para todos$p$si$m_0^2c^4=0$, es decir,$m_0=0$.

De hecho, la luz está compuesta de "fotones": partículas que tienen una "masa en reposo" cero... La "masa en reposo" de un fotón no tiene sentido, ya que nunca están en reposo: la energía de un fotón

es de la forma$0/0$, ya que$m_0=0$y$v=c$, asi que "$m$” todavía puede ser distinto de cero. Es decir, la masa de un fotón es realmente toda la masa KE.

Para cerrar... Realmente tendremos que pensar mucho en esto mientras detenemos los fotones para la computación cuántica.

Pero para responder a su pregunta Energía total = Energía potencial + Energía cinética

Ya que$pc$= la energía cinética y como$p$va a cero la energía total = energía potencial y por lo tanto todo lo que queda es$m_0c^2$, el resto energía. Espero que mirar el impulso desde cero hasta un valor grande le brinde una comprensión más clara de por qué el resto de la energía es la energía potencial.

En referencia a tu pregunta. Ahora, ¿dónde está la energía potencial si$E_f=\gamma mc^2$es la energía total?

$E_f^2=(m_0c^2)^2+(pc)^2$

$E_f^2=(m_0c^2)^2+(pc)^2$

$E_f=\sqrt{(m_0c^2)^2+(pc)^2}=\gamma mc^2$

$(\sqrt{(m_0c^2)^2+(pc)^2})^2=(\gamma mc^2)^2$

$(m_0c^2)^2+(pc)^2 = (\gamma mc^2)^2$

$(m_0c^2)^2=(\gamma mc^2)^2-(pc)^2$

$m_0c^2 = \sqrt{(\gamma mc^2)^2-(pc)^2}$

Finalmente la energía potencial o energía en reposo es como se esperaba la energía total$\gamma mc^2$menos la energía cinética. Quizás lo que está buscando es poner la energía potencial en términos de energía total e impulso. {Tenga en cuenta que era importante calificar las masas en$m_0$masa en reposo y$m_v$una masa en movimiento del impulso. La masa en reposo será una constante, mientras que la masa del término de cantidad de movimiento variará a medida que cambie la velocidad y extremadamente cuando v->c}

$m_0c^2 = (\gamma mc^2)-(pc) = (\gamma mc^2)-(m_vvc)$

La mayoría de las respuestas dadas aquí "ni siquiera son incorrectas" porque abordan un punto irrelevante. Obviamente, estamos considerando un objeto que no se mueve en un potencial externo, por lo que la pregunta es cómo interpretar la diferencia de la energía total y la cinética. La cantidad$m c^2$es la suma de la energía potencial y cinética del sistema que comprende solo el objeto en su marco de reposo. La energía total en un marco donde tiene una velocidad de$v$es$\gamma m c^2$, la energía cinética de$(\gamma - 1)m c^2$se refiere sólo a la energía cinética si su centro de movimiento de masas.

Tenga en cuenta que dividir la energía interna de$mc^2$en parte cinética y una parte potencial es arbitraria. Tomemos, por ejemplo, la interacción de van der Waals entre átomos. la energía total de dos átomos a una distancia$R$aparte depende de$R$, menos la derivada wrt$R$es la fuerza de van der Waals. Si bien podemos llamar a esta energía la energía potencial de los dos átomos, uno puede dividirla en una parte cinética y una parte potencial al considerar los electrones en ambos átomos.