¿Por qué los resultados de las densidades de energía de los campos eléctrico y magnético son siempre válidos?

Respuesta corta :

De lo contrario. Las expresiones de la energía eléctrica almacenada en la superficie del conductor y la energía magnética almacenada dentro de un solenoide ideal se derivan de la expresión de la densidad de energía$\mathcal U = \frac{1}{2}\left(\epsilon_0\vec E \cdot \vec E + \frac{1}{\mu_0}\vec B \cdot \vec B\right)$debido a cualquier campo electromagnético arbitrario , no al revés. La expresión para$\mathcal U$en términos de campos electromagnéticos es una consecuencia directa de las ecuaciones de Maxwell,

$$\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0} \tag{1}$$

$$\nabla \cdot \vec B = 0 \tag{2}$$

$$\nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t} \tag{3}$$

$$\nabla \times \vec B = \mu_o \vec J + \mu_o\epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t} \tag{4}$$

Las principales implicaciones presentes en cualquier derivación de la densidad de energía del campo electromagnético son que la energía debe gastarse de alguna manera para establecer un campo electromagnético distinto de cero en una región del espacio y que la energía gastada termina almacenada dentro del propio campo.

Respuesta larga :

He visto algunas formas diferentes de derivar la densidad de energía del campo electromagnético a partir de los principios fundamentales del electromagnetismo, pero la derivación con la que estoy más familiarizado y cómodo utiliza un enfoque teórico de campo adaptado del contenido y los problemas prácticos del Capítulo 2 de Introducción . a la teoría cuántica de campos de Peskin y Schroeder :

Comience con la densidad lagrangiana electromagnética del espacio libre (es decir, no hay cargas ni corrientes presentes),

$$\mathcal L\left(A_\mu , \partial_\nu A_\mu\right) = -\frac{1}{4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} \tag{5}$$

dónde

$$F_{\mu\nu} \equiv \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu = \left(\begin{matrix}0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{matrix}\right) \tag{6}$$

$$F^{\mu\nu} \equiv \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu = \left(\begin{matrix}0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{matrix}\right)$$

son respectivamente la forma covariante y contravariante del tensor de campo electromagnético, con$\partial$los cuatro gradientes y$A$el cuatripotencial electromagnético. Las ecuaciones de Euler-Lagrange para este campo son las ecuaciones de Maxwell en el espacio libre,

$$\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0 \tag{7}$$ $$\partial_{[\mu} F_{\nu\sigma]} = 0 \tag{8}$$

Debido a las simetrías inherentes al Lagrangiano dado en$(5)$, podemos construir un tensor $T^{\mu\nu}$, definido como

$$T^{\mu\nu} \equiv \frac{\partial \mathcal L}{\partial\left(\partial_\mu A_\sigma\right)}\partial_\nu A_\sigma - \mathcal Lg^{\mu\nu} \tag{9}$$

dónde

$$g^{\mu\nu} = \left(\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix}\right) \tag{10}$$

es la métrica de Minkowski, y luego usamos$(9)$junto con$(5)$para construir un tensor tensión-energía simétrico$\hat T^{\mu\nu}$:

$$\hat T^{\mu\nu} \equiv T^{\mu\nu} + \partial_\sigma \left(F^{\mu\sigma}A^\nu\right) = \frac{1}{\mu_0}\left(F^{\mu\kappa}F_{\kappa\lambda}g^{\lambda\nu} + \frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\right) \tag{11}$$

Por lo tanto, la densidad hamiltoniana del campo electromagnético (es decir, la densidad de energía)$\mathcal H$es

$$\begin{align} \mathcal H & = \hat T^{00} \\ & = \frac{1}{\mu_0}\left(F^{0\kappa}F_{\kappa\lambda}g^{\lambda 0} + \frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\right) \\ & = \frac{1}{\mu_0}\left(\frac{\vec E \cdot \vec E}{c^2} + \frac{1}{2} \left(\vec B \cdot \vec B - \frac{\vec E \cdot \vec E}{c^2}\right)\right) \\ & = \frac{1}{2}\left(\epsilon_0\vec E \cdot \vec E + \frac{1}{\mu_0}\vec B \cdot \vec B\right) \end{align} \tag{12}$$

Esta página proporciona una explicación más detallada de la derivación anterior.