Energía de una onda EM comparada con la energía de un fotón

Hay un sentido en el que su última afirmación es correcta: la amplitud del fotón (en el sentido del que habla anteriormente) es proporcional a$\sqrt{h\,\nu}$. Uno modela la medición de cantidades físicas con "observables", y para un campo electromagnético cuantificado, el campo eléctrico observable es el siguiente operador (consulte la página de Wikipedia para Cuantización del campo electromagnético :

$\hat{\mathbf{E}}(\mathbf{r}) = i\sum_{\mathbf{k},\mu} \sqrt{\frac{\hbar\omega}{2 V\epsilon_0}} \left(\mathbf{e}^{(\mu)} a^{(\mu)}(\mathbf{k}) e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} - \bar{\mathbf{e}}^{(\mu)} {a^\dagger}^{(\mu)}(\mathbf{k}) e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \right)$

Por el momento, no te preocupes demasiado por su significado si no lo entiendes del todo, pero ten en cuenta que, de hecho, es proporcional a$\sqrt{\hbar\omega}$.

El fotón en sí no tiene una amplitud en el sentido del que estás hablando arriba. El fotón, o, más precisamente, nuestro modelo matemático del mismo, es simplemente un vector de estado en el espacio de Hilbert cuyos componentes representan "amplitudes de probabilidad" para que la entidad se encuentre en un determinado estado propio (léase aquí: vector base unitario del espacio de Hilbert) ; Hablo más sobre esto aquí . El concepto de la amplitud, en el sentido que lo entendiste arriba, surge cuando uno hace una medición. La medida, en la teoría de la medida cuántica, está modelada por un "observable"$\hat{E}$, que es un operador lineal (por ahora, piénselo como una matriz cuadrada) en ese espacio de Hilbert junto con la siguiente receta sobre cómo aplicar el operador e interpretar sus resultados:

1. Después de la medición, el vector de estado$\psi$está en uno de los estados propios del observable y el resultado de la medición es el valor propio real correspondiente dos ese estado propio;
2. El$m^{th}$momento de la distribución de probabilidad$p(\lambda)$para la medida$\lambda$es$\psi^\dagger \hat{E}^m \psi$en notación matricial (o en la notación bra-ket de los físicos$\left<\psi |\hat{E}^m | \psi\right>$).

Uno puede hacer cualquier transformación unitaria en el espacio de Hilbert que desee y aun así mantener toda la información sobre el problema (los observables también sufren las transformaciones correspondientes, por supuesto). Por lo que es conveniente, cuando se habla de una determinada medida, transformar el espacio de Hilbert para que el observable de la medida se convierta en una matriz diagonal. En estas coordenadas, la probabilidad de que el estado sea un vector propio particular$\psi_0$y por lo tanto la probabilidad de observar una medida igual al valor propio correspondiente$\lambda_0$es particularmente simple, a saber$\left<\psi_0 | \psi_0\right>$(si la medida es una variable discreta, entonces obtienes una distribución de probabilidad; si es una variable continua, obtienes una función de densidad de probabilidad).