¿Por qué los electrones tienen menos energía que los fotones con la misma longitud de onda?

Para el fotón tenemos

$$E_\gamma = \frac{hc}{\lambda}$$ y para el electrón $$E_e = \frac{h^2}{2m\lambda^2} =\frac{hc}{\lambda} \frac{h}{2mc\lambda} = E_\gamma \frac{h}{2mc\lambda}.$$ Puede comprobar que el factor de proporcionalidad es adimensional. Entonces, lo que está preguntando es por qué esta cantidad es menor que la unidad. pero recuerda que $$\frac{h}{\lambda} =p$$ dónde $p$es el impulso. Lo que estamos viendo es realmente (la mitad) de la proporción $$\frac{pc}{mc^2} = \frac{mvc}{mc^2}$$ donde supuse que $v \ll c$, es decir, tenemos un electrón no relativista. Luego obtenemos el resultado que indicó en su pregunta. Por otro lado, si no hacemos esta aproximación tenemos la razón $$\frac{pc}{mc^2} =\frac{mv\gamma c}{mc^2} = \frac{v\gamma}{c}$$ que es ilimitado cuando $v \to c$.

También podrías argumentar a partir de la teoría de Einstein.

$$E^2 = m^2 + p^2$$ (en unidades donde $c = 1$). Para $m = 0$tenemos por supuesto $E = p$. Si haces una expansión de Taylor de $E$por $m\neq 0$, $$E = m + \frac{p^2}{2m} + \ldots$$ ves que la energía cinética, comparada con la energía de una partícula sin masa tiene un factor $p/m$(como encontramos arriba). El régimen no relativista es precisamente cuando esta cantidad es pequeña, y si no lo es, tenemos que incluir términos proporcionales a $p^4/m^3$y mayor, y nuevamente que la energía puede ser mayor para una partícula masiva que para una partícula sin masa con el mismo momento. Entonces, la respuesta a su pregunta realmente es: porque está considerando partículas no relativistas.

La energía de la partícula es proporcional a la frecuencia de oscilación de su función de onda,$E=h\nu$. Un fotón siempre se mueve a la velocidad$c$, por lo que su longitud de onda está relacionada con la frecuencia de la forma habitual para una onda viajera,$\lambda = c/\nu = hc/E$.

Una partícula masiva se mueve más lentamente que el fotón, por lo que su longitud de onda es más corta para la misma cantidad de energía. Ingenuamente, podríamos suponer que una partícula que se mueve a una velocidad$v$tendría$\lambda = hv/E$como su longitud de onda. Esto no es correcto porque no tiene en cuenta la relatividad, pero puede darte una idea de por qué la longitud de onda es más corta para una partícula con masa.

Para obtener la relación correcta, debemos considerar la energía relativista de la partícula. Según la relatividad especial, la energía es en realidad$E = \sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}$. Para una partícula en reposo, este es el famoso$E=mc^2$. La energía cinética es la diferencia entre la energía total y la energía en reposo (energía de masa).

Para un fotón, toda la energía es cinética porque no tiene masa. Para un electrón no relativista, con momento$p \ll mc$, podemos usar una expansión de Taylor para obtener una expresión aproximada de la energía cinética.

$$\begin{align} KE &= \sqrt{m^2c^4 + p^2c^2}-mc^2\\ &\approx mc^2\left(1+{1 \over 2}{p^2c^2 \over m^2c^4 }\right)-mc^2\\ &={p^2 \over 2m} \end{align}$$

La longitud de onda de DeBroglie está relacionada con el impulso por$\lambda =h/p$, y al conectarlo obtenemos las fórmulas que solicitó.

$$\begin{align} E_{\mathrm{photon}} &= {hc \over \lambda}\\ E_\mathrm{electron} &= {h^2 \over 2m\lambda^2} \end{align}$$

Un punto de vista ligeramente diferente es el siguiente. Primero, tenga en cuenta que las fórmulas dadas por el OP no excluyen por sí mismas la posibilidad de que el electrón tenga la misma o mayor energía que un fotón de la misma longitud de onda. De hecho, para lo suficientemente pequeño$\lambda$la fórmula no relativista$E = h^2/(2m \lambda^2)$predice que el electrón tiene mayor energía que el fotón. La longitud de onda "crítica"$\lambda_c$donde ocurre el cruce se encuentra igualando las dos expresiones, dando

$$\frac{hc}{\lambda_c} = \frac{h^2}{2m\lambda_c^2} \quad \Longrightarrow \quad \lambda_c \approx \frac{h}{mc},$$ ignorando el factor de 2. Pero esta cantidad tiene otro significado: es la longitud de onda de Compton. Esta es la longitud de onda a la que la energía cinética del electrón es aproximadamente igual a su masa en reposo: $$\frac{h^2}{2m\lambda_c^2} \approx m c^2.$$ Por encima de esta energía, la producción espontánea de pares electrón-positrón empieza a cobrar importancia. Por lo tanto, el concepto no relativista de un "electrón único" pierde su significado una vez que la energía se vuelve comparable a un fotón de la misma longitud de onda.