Energía cinética como πkBTπkBT\pi k_B T

En la derivación de la longitud de onda térmica de De Broglie en Wikipedia, me encuentro con lo siguiente:

"En el caso no relativista, la energía cinética efectiva de las partículas libres es mi k = π k B T

https://en.wikipedia.org/wiki/Thermal_de_Broglie_longitud de onda

Si esto es correcto, ¿en qué casos es la energía cinética de una partícula libre π k B T y no 3 2 k B T ? Gracias por cualquier comentario sobre esto.

Parece que hay algunas contradicciones sobre este punto que no he podido entender. Mire esto: i.imgur.com/8IAEQH2.jpg y esto: i.imgur.com/Y7waIgP.jpg . Puedo referirlo a los dos documentos diferentes de los que obtuve esto si lo desea, pero es obvio que la energía cinética promedio de una partícula es diferente en los tres casos. Esperaré a que alguien lo explique.

Respuestas (2)

La razón para usar mi k = π k B T es hacer que la "concentración cuántica" sea exactamente igual a λ t h − 3 (ver Kittel y Kroemer, Thermal Physics p. 73). La concentración cuántica es ∫ d 3 k ( 2 π ) 3 mi − mi k ( k ) / k B T . En la teoría de los semiconductores, multiplicamos esta cantidad por un factor de 2 a partir de la degeneración del espín y la aplicamos a cuasipartículas de electrones y huecos con masas efectivas determinadas por el material para obtener la "densidad térmica efectiva de estados". norte C y norte V .

...en qué casos es la energía cinética de una partícula libre...

Observación: La expresión dependiente de la temperatura para la energía cinética no es una propiedad de una sola partícula, sino de un conjunto.

El 3 2 proviene de una consideración estadística de los grados de libertad de un esquema de partículas mecánicas. El π viene de la imagen de onda.

Usando una masa y energía características, metro resp. mi ′ , la cantidad pag ′ = metro mi ′ tiene las unidades de cantidad de movimiento. En el campo de la termodinámica, múltiplos de k B T son candidatos a una energía tan característica.

π entrará en su teoría una vez que calcule los valores esperados asumiendo una relación clásica de dispersión/energía-momentum mi ( pag ) = pag 2 2 metro , resp. pag ( mi ) = 2 metro mi . En un conjunto canónico, un momento característico viene dado por

pag ″ = ∫ − ∞ ∞ mi X pag ( − mi ( pag ) k B T ) d pag = 2 metro ( π k B T ) .

O, antes de la normalización, el cálculo de la varianza ∼ ∫ − ∞ ∞ pag 2 mi X pag ( − mi ( pag ) k B T ) d pag generará un factor π . No estoy seguro del mérito de adoptar π como la única constante proporcional antes, no he visto para qué se usa la energía en su aplicación / en qué se convierte. Por lo que puedo ver, también podría absorberlos en su escala de temperatura.

Disculpe, después de revisar su respuesta, el factor parece tan incorrecto como antes. No hay libertad en la definición de cantidad de movimiento, energía o temperatura absoluta. Los factores puramente numéricos deben determinarse y todo lo que veo indica que De Broglie simplemente los ha determinado incorrectamente. Una partícula promedio esféricamente simétrica de un gas ideal simplemente lleva mi = 3 k T / 2 en promedio y el hecho de que también pueda describirse como una onda no puede contradecir este hecho.
@LubošMotl: no necesita violar ninguna expresión de entropía exacta o la escala de temperatura absoluta. solo considera k B ∗ ≡ π k B la constante auxiliar. Algo como k B = 1 y electrón voltios, y algunos podrían encontrar ≈ 10 − 23 j / k y kelvins o "pi-kelvins" útiles. Por eso dije no sé cuál sería el mérito de adoptar otro 3.14 obtener energía de la temperatura. Le mostré OP donde π aparece. En los valores esperados, aparecerá de todos modos, porque la densidad ρ ∝ mi − H / k B T se normaliza.
Lo siento, nadie más ha usado k B ∗ antes, por lo que este es claramente un nuevo invento que de ninguna manera puede corregir los errores en nada de lo que se escribió antes. Esta redefinición frenética solo refuerza el punto de que los autores originales simplemente fueron descuidados con todos los coeficientes de orden uno. Uno puede escribir fórmulas que están bien hasta números de orden uno. Pero si uno escribe constantes numéricas reales en todas partes, deberían ser correctas y solo una constante numérica en cada ecuación es correcta.
@LubošMotl: La pregunta es si importa mientras sigas usando una unidad de temperatura que sea formalmente distinta de una unidad de energía. Claro, puede adoptar el enfoque reduccionista y corregir todos los factores utilizando la teoría más profunda, pero "no he visto en qué se convierte la energía (...)" y, por lo tanto, si todas las cantidades en las teorías dan cuenta de este extraño π , puede terminar sin arruinar ningún resultado. Estoy de acuerdo en que es extraño que una partícula lleve una cantidad de energía irracional; no lo estoy defendiendo. Pero aparentemente la gente ha usado esta cantidad durante algún tiempo y funcionó para su uso.
Las cantidades físicas generales son casi siempre irracionales, y casi nunca racionales (o múltiplos racionales de pi, para el caso). La racionalidad, como el valor, depende de las unidades. Ninguna de estas cosas es un problema. El problema es que la energía, el impulso y la temperatura son cantidades que están bien definidas, incluidos los factores numéricos. No hay ambigüedades en los valores. No hay ambigüedades sobre el valor de la constante de Boltzmann, siempre que se mantenga su definición, y así sucesivamente. Solo está tratando de cubrir un factor numérico incorrecto con capas de niebla.
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