¿Cuál es la distancia entre los fotones?

La distancia promedio entre fotones se puede estimar de la siguiente forma conceptual.

Primero, calcule la densidad de energía del campo de radiación del cuerpo negro.

Luego divida por la energía promedio de un fotón (que es$2.7 k_BT$- consulte mi respuesta a En un equilibrio térmico, ¿por qué la energía de los fotones individuales es proporcional a la temperatura? ).

El resultado es la densidad numérica (por unidad de volumen) de fotones. El inverso de esto da el volumen ocupado por un fotón y, por lo tanto, la raíz cúbica de esto da una estimación de la separación promedio entre fotones.

Más formalmente:

La densidad de energía de un campo de radiación de cuerpo negro es

$$u_{\nu} = \frac{4\pi}{c} B_{\nu}\ d\nu = \frac{8\pi h \nu^{3}}{c^3} \frac{d\nu}{\exp(h\nu/k_BT) - 1}$$ Por lo tanto, la densidad numérica de los fotones es $$n = \int \frac{u_{\nu}}{h\nu}\ d\nu = \frac{8\pi}{c^3} \int \frac{\nu^2\ d\nu}{\exp(h\nu/k_BT) - 1}$$ Esta integral necesita la ayuda de un conjunto de tablas de integrales o del integrador Wolfram para dar $$n = 8\pi \left(\frac{k_BT}{hc}\right)^3 \times 2.404$$

Pero por la ley de Wien sabemos que una longitud de onda de fotón "típica" (bueno, la longitud de onda de un fotón en el pico de la distribución de Planck) tiene

$$\lambda_{\rm Wien} = \frac{2.9\times 10^{-3}}{T}$$

Al juntarlos, podemos expresar la densidad numérica en términos de la longitud de onda de Wien, en lugar de la temperatura, como

$$n = 8\pi (\frac{0.20}{\lambda_{\rm Wien}})^3 \times 2.404$$
Tomando la raíz cúbica inversa finalmente llegamos a una separación fotónica típica de $$l_{\rm photon} \simeq 1.27 \lambda_{\rm Wien}$$