Energía almacenada en un resorte para una fuerza aplicada constante

Mientras estudiaba este documento para el capacitor ideal, encontré esto en la primera página (which is available for preview):

Mecánicamente, la figura 1 (a) es equivalente a un resorte idealizado de constante de resorte k sin masa ni fricción. Cuando una fuerza constante F 0 se aplica repentinamente a este resorte y se comprime o se estira una distancia d , resulta la misma situación. Es decir, el trabajo realizado por la fuerza es F 0 d , mientras que la energía almacenada en el resorte es k d 2 / 2 = F 0 d / 2 .

El trabajo realizado por una fuerza constante de magnitud F 0 en un punto que mueve un desplazamiento d en la dirección de la fuerza es simplemente el producto W = F 0 d , así que tiene sentido. Pero no puedo entender cómo la energía que se almacena en el resorte es k d 2 2 . Si tuviera que integrar la energía potencial elástica que se almacena mediante la integración regular:

W = ∫ 0 d F 0 ⋅ d X = F 0 ∫ 0 d d X = F 0 d
¿Me estoy perdiendo de algo? ¿Cómo se almacena la energía para una fuerza constante? F 0 es k d 2 / 2 ?

Si k d 2 / 2 = F 0 d / 2 , no significa eso F 0 = k d ? pero dijimos F 0 es constante Cualquier ayuda es apreciada.

No es posible poner una fuerza constante en un resorte ideal. El resorte obedece la ley de Hooke y la fuerza aplicada tendría que seguir esa ley a través de la tercera ley de Newton.

Respuestas (2)

La energía almacenada se puede encontrar a partir de la integración, pero la fuerza necesaria para comprimir el resorte es F = k X (Ley de Hooke, es más difícil comprimir un resorte 1 cm, cuando ya está comprimido), por lo que la energía almacenada en el resorte es

W = ∫ 0 d k X ⋅ d X = k ∫ 0 d X d X = k d 2 2

Desde F 0 d es dos veces más grande que esto, presumiblemente también se crearía algo de energía cinética si la fuerza de compresión F 0 eran realmente constantes.

OP dijo la fuerza F 0 es constante, pero lo que has mostrado aquí es para fuerza variable.
@ Nazmul Hasan Shipon, la fuerza necesaria para comprimir un resorte es variable, por lo que si se aplica una fuerza constante, al principio solo una pequeña parte del trabajo realizado se almacena en PE y se acumula en KE, luego, a medida que el resorte se comprime más, una proporción mayor del trabajo realizado se almacena como PE y menos entra en KE
Entonces, cuando el resorte está totalmente comprimido/estirado por d distancia, ¿habría energía cinética si la fuerza constante es F 0 = k d ?
@ Nazmul Hasan Shipon La respuesta muestra al interrogador cómo k d 2 2 se deriva en mi humilde opinión, no es realista esperar que la fuerza sea constante, pero si lo fuera, sí, habría algo de energía cinética a la distancia de compresión d , o posiblemente calor generado, pero no conocemos los detalles ya que no sabemos por qué la fuerza permaneció constante
Es del papel. ¿No podemos aplicar fuerza constante a un resorte? Digamos, desde un dispositivo mecánico.
¿No podemos aplicar fuerza constante a un resorte? Digamos, ¿desde un dispositivo mecánico?
@ Nazmul Hasan Shipon sí, pero el exceso de fuerza tendría que producir algún otro tipo de energía, calor o KE, creo que dejaré esta Q ahora, a ver si hay otras respuestas o si el OP cree que está bien. Mis mejores deseos
John Hunter, soy el OP. Esa es solo mi otra cuenta y me encantaría que la responda correctamente cubriendo los detalles si es posible.

Esta pregunta conceptual se hace con frecuencia en este sitio; busque spring energy halfaquí muchas otras respuestas. La confusión generalmente surge porque cuando se trata del resorte ideal y una carga constante, la mitad del trabajo aplicado parece desaparecer mágicamente en calor (estrictamente, energía térmica). Vemos a continuación que esta es la única conclusión razonable para que nuestros modelos e idealizaciones encajen; sin embargo, uno podría preguntarse: ¿Cómo sabe el resorte (o capacitor, en el ejemplo gemelo de un circuito idealizado con un voltaje constante) convertir la mitad del trabajo en calor? Es un rompecabezas divertido que se puede explorar en el plan de estudios de grado de ingeniería mecánica, ingeniería eléctrica o física, por ejemplo.

Construyamos la evidencia que lleva a esta conclusión:

  • Ciertamente podemos aplicar una fuerza constante tanto en resortes ideales como reales (para simplificar, por "resortes reales" me refiero a resortes con masa y fricción que todavía se desvían linealmente); considere colgar un peso en el extremo, por ejemplo. Además, la conveniencia del modelado requiere la existencia de fuerzas ideales no asociadas con ninguna masa física que deba acelerarse.

  • La energía de deformación almacenada en los resortes ideales y reales es k X 2 2 . Obtenemos esto estirando el resorte cuasistática y reversiblemente, aplicando fuerza variable F = k X desde la deflexión cero hasta la deflexión final d . Este enfoque mantiene fuerzas constantemente equilibradas y así evita la dispersión de energía al medio ambiente. El paso de integración se muestra en la respuesta de @JohnHunter. (Esta es la única vez que se usa una fuerza variable en esta respuesta).

  • El resorte ideal no tiene masa y por lo tanto no tiene inercia. No puede acelerar para producir un movimiento gradual. Para una fuerza aplicada, todas las respuestas ocurren instantáneamente , produciendo una desviación inmediata y final. d = F / k . (Por el contrario, los resortes reales tienen masa y fricción interna; cuando se aplica una fuerza constante, el resorte real se acelera y exhibe una oscilación amortiguada para finalmente obtener su posición final de equilibrio, lo que hace obvias las pérdidas por fricción).

  • Una fuerza constante aplicada sobre la deflexión. X corresponde al trabajo F X . Sabemos desde arriba que la mitad de este trabajo se destina a la energía de tensión. ¿Qué pasa con la otra mitad? Para un resorte real, podemos aplicar las leyes del movimiento y obtener la solución para el movimiento amortiguado , concluyendo que la otra mitad entra en alguna combinación variable en el tiempo de energía cinética y energía térmica . (Si el resorte está críticamente amortiguado o sobreamortiguado, entonces no queda energía cinética en d .)

  • Finalmente, ¿cómo debemos tratar el resorte ideal, para el cual no puede ocurrir ningún movimiento con el tiempo? La única reconciliación razonable es que además de completar la desviación instantánea d (Almacenamiento instantáneo de energía de tensión k X 2 2 ), también completamos la disipación instantánea k X 2 2 en energía térmica .

En otras palabras, idealizar el resorte ideal como sin masa y sin fricción, además de asumir la existencia de fuerzas ideales incorporales, implica que ciertas dinámicas disipativas ocurren instantáneamente, dejando solo su resultado; todo es parte del "paquete" ideal del modelo primaveral.

Al final, la división automática en mitades surge de los supuestos de elasticidad lineal, la definición de trabajo y la ley de conservación de la energía.

Dijiste, " la otra mitad entra en alguna combinación variable en el tiempo de energía cinética y energía térmica ". He estado pensando, después de completar la distancia d , el resorte tendrá algo de energía cinética, por lo que continuará estirándose o comprimiéndose. Cuando se comprime o se estira más, ¿no se transformaría más energía de energía cinética a energía potencial, ya que la conversión de energía cinética y potencial generalmente ocurre en un sistema de resorte oscilante?
En el caso del resorte real, claro, podemos hablar de transformaciones entre tipos de energía, gobernadas por la posición final del resorte y la velocidad; además, el resorte y la fuerza pueden trabajar uno sobre el otro.
Energía almacenada en un resorte para una fuerza aplicada constante
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