Encuentra la función de autocorrelación de una señal

La variable$T$es la variable independiente de la función de autocorrelación. Entonces

$$R(T)=\int_{-\infty}^{\infty}g(t)g(t+T)dt$$

es la función de autocorrelación. Sustituyendo lo dado$g(t)$da

$$R(T)=e^{-2T}\int_{\max\{0,-T\}}^{\infty}e^{-4t}dt=e^{-2T}\frac14 e^{-4\max\{0,-T\}}=\frac14 e^{-2|T|}\tag{1}$$

que es una función simétrica con su máximo en$T=0$, como debería ser el caso de una función de autocorrelación.

EDITAR:

Y ahora con todos los detalles de la integración:

$$g(t)g(t+T)=e^{-2t}u(t)e^{-2(t+T)}u(t+T)=e^{-2T}e^{-4t}u(t)u(t+T)$$

Ahora mira el producto$u(t)u(t+T)$:

$$u(t)u(t+T)=\begin{cases}u(t),&T>0\\ u(t+T),&T<0\end{cases}$$

(dibujar$u(t)$y$u(t+T)$si no ves esto). Entonces obtenemos

$$T>0:\quad e^{-2T}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-4t}u(t)dt=e^{-2T}\int_0^{\infty}e^{-4t}dt=e^{-2T}\left(-\frac14\right)e^{-4t}\Big|_0^{\infty}=\frac14 e^{-2T}$$

$$T<0:\quad e^{-2T}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-4t}u(t+T)dt=e^{-2T}\int_{-T}^{\infty}e^{-4t}dt=e^{-2T}\left(-\frac14\right)e^{-4t}\Big|_{-T}^{\infty}=\frac14 e^{2T}$$

Podemos combinar estas dos expresiones si usamos$e^{-2|T|}$, lo que da como resultado la Ec. (1) como se indicó anteriormente.