Encontrar la potencia promedio disipada en una resistencia

Question

Encontrar la potencia promedio disipada en una resistencia

27 de enero

Bueno, tengo un circuito RL en serie que funciona con una fuente de voltaje. El voltaje de entrada viene dado por:

\begin{matrix} (1) & V_{en} (t) = 50 + \frac{400}{π} \cdot \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{pecado (200 π \cdot norte \cdot t)}{norte} \end{matrix}

$\text{V}_{\text{in}}\left(t\right)=50+\frac{400}{\pi}\cdot\sum_{\text{n}=1}^\infty\frac{\sin\left(200\pi\cdot\text{n}\cdot t\right)}{\text{n}}\tag1$

El valor de la resistencia es igual a $\text{R}=20\space\Omega$ y el valor del inductor es igual a $\text{L} =25\cdot10^{-3}\space\text{H}$ .

Pregunta: Tengo que encontrar la potencia promedio que se disipa en la resistencia.

Mi trabajo:

Podemos escribir para la potencia disipada en la resistencia, usando la ley de Ohm , que:

\begin{matrix} (2) & {PAG}_{R} (t) = V_{R} (t) \cdot I_{R} (t) = I_{R}^{2} (t) \cdot R \end{matrix}

$\text{P}_\text{R}\left(t\right)=\text{V}_\text{R}\left(t\right)\cdot\text{I}_\text{R}\left(t\right)=\text{I}_\text{R}^2\left(t\right)\cdot\text{R}\tag2$

Dónde $\text{I}_\text{R}\left(t\right)$ es la corriente a través de la resistencia y $\text{V}_\text{R}\left(t\right)$ es el voltaje a través de la resistencia.

Debido a que es un circuito en serie , la corriente de entrada, $\text{I}_\text{in}\left(t\right)$ , entregado por la fuente es el mismo a través de la resistencia y el inductor, por lo que $\text{I}_\text{R}\left(t\right)=\text{I}_\text{in}\left(t\right)=\text{I}_\text{L}\left(t\right)$ . Usando la ley de Faraday , podemos encontrar esa corriente de entrada:

\begin{matrix} (3) & - V_{en} (t) + I_{en} (t) \cdot R = - I_{en}^{'} (t) \cdot L \end{matrix}

$-\text{V}_\text{in}\left(t\right)+\text{I}_\text{in}\left(t\right)\cdot\text{R}=-\text{I}_\text{in}'\left(t\right)\cdot\text{L}\tag3$

La condición inicial es igual a $0$ , entonces sabemos que $\text{I}_\text{in}\left(0\right)=0$ . Ahora tenemos que resolver la ecuación $(3)$ utilizando los valores que se dan.

Resolviendo ecuación $(3)$ da:

\begin{matrix} (4) & I_{en} (t) = \frac{1}{L} \cdot Exp (- \frac{R}{L} \cdot t) \cdot {\int_{1}^{t} X (τ) d τ - \int_{1}^{0} X (τ) d τ} \end{matrix}

$\text{I}_\text{in}\left(t\right)=\frac{1}{\text{L}}\cdot\exp\left(-\frac{\text{R}}{\text{L}}\cdot t\right)\cdot\left\{\int_1^t\text{X}\left(\tau\right)\space\text{d}\tau-\int_1^0\text{X}\left(\tau\right)\space\text{d}\tau\right\}\tag4$

Dónde $\text{X}\left(\tau\right)=\exp\left(\frac{\text{R}}{\text{L}}\cdot\tau\right)\cdot\text{V}_\text{in}\left(\tau\right)$ .

La potencia media que se disipa en la resistencia es igual a:

{\bar{PAG}}_{R} = \underset{norte \to \infty}{límite} \frac{1}{norte} \cdot \int_{0}^{norte} {PAG}_{R} (t) d t = \underset{norte \to \infty}{límite} \frac{1}{norte} \cdot \int_{0}^{norte} I_{R}^{2} (t) \cdot R d t =

$\overline{\text{P}}_\text{R}=\lim_{\text{n}\to\infty}\frac{1}{\text{n}}\cdot\int_0^\text{n}\text{P}_\text{R}\left(t\right)\space\text{d}t=\lim_{\text{n}\to\infty}\frac{1}{\text{n}}\cdot\int_0^\text{n}\text{I}_\text{R}^2\left(t\right)\cdot\text{R}\space\text{d}t=$

\begin{matrix} (5) & R \cdot {\underset{norte \to \infty}{límite} \frac{1}{norte} \cdot \int_{0}^{norte} I_{en}^{2} (t) d t} \end{matrix}

$\text{R}\cdot\left\{\lim_{\text{n}\to\infty}\frac{1}{\text{n}}\cdot\int_0^\text{n}\text{I}_\text{in}^2\left(t\right)\space\text{d}t\right\}\tag5$

Ahora, la corriente de entrada $\text{I}_\text{in}\left(t\right)$ que se establece en la integral al final de la ecuación $(5)$ se puede encontrar usando la solución a la ED dada en la ecuación $(4)$ .

Pregunta: ¿Cómo puedo resolver la integral dada en la ecuación $(5)$ , ¿esa es la parte en la que no entiendo?

EDITAR:

Ya encontré que, usando los valores dados que:

\begin{matrix} (6) & \int_{1}^{0} X (t) d τ = \frac{3}{8} \cdot (1 - {mi}^{800}) \end{matrix}

$\int_1^0\text{X}\left(t\right)\space\text{d}\tau=\frac{3}{8}\cdot\left(1-e^{800}\right)\tag6$

Y:

\begin{matrix} (7) & \frac{1}{L} \cdot Exp (- \frac{R}{L} \cdot t) = 40 {mi}^{- 800 t} \end{matrix}

$\frac{1}{\text{L}}\cdot\exp\left(-\frac{\text{R}}{\text{L}}\cdot t\right)=40e^{-800t}\tag7$

Y:

\int_{1}^{t} X (τ) d τ = \int_{1}^{t} Exp (\frac{R}{L} \cdot τ) \cdot {50 + \frac{400}{π} \cdot \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{pecado (200 π \cdot norte \cdot τ)}{norte}} d τ =

$\int_1^t\text{X}\left(\tau\right)\space\text{d}\tau=\int_1^t\exp\left(\frac{\text{R}}{\text{L}}\cdot\tau\right)\cdot\left\{50+\frac{400}{\pi}\cdot\sum_{\text{n}=1}^\infty\frac{\sin\left(200\pi\cdot\text{n}\cdot\tau\right)}{\text{n}}\right\}\space\text{d}\tau=$

\int_{1}^{t} Exp (\frac{R}{L} \cdot τ) \cdot 50 d τ + \int_{1}^{t} Exp (\frac{R}{L} \cdot τ) \cdot \frac{400}{π} \cdot \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{pecado (200 π \cdot norte \cdot τ)}{norte} d τ =

$\int_1^t\exp\left(\frac{\text{R}}{\text{L}}\cdot\tau\right)\cdot50\space\text{d}\tau+\int_1^t\exp\left(\frac{\text{R}}{\text{L}}\cdot\tau\right)\cdot\frac{400}{\pi}\cdot\sum_{\text{n}=1}^\infty\frac{\sin\left(200\pi\cdot\text{n}\cdot\tau\right)}{\text{n}}\space\text{d}\tau=$

\begin{matrix} (8) & \frac{{mi}^{800 t} - {mi}^{800}}{dieciséis} + \frac{400}{π} \cdot \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{norte} \cdot {\int_{1}^{t} Exp (800 \cdot τ) \cdot pecado (200 π \cdot norte \cdot τ) d τ} \end{matrix}

$\frac{e^{800t}-e^{800}}{16}+\frac{400}{\pi}\cdot\sum_{\text{n}=1}^\infty\frac{1}{\text{n}}\cdot\left\{\int_1^t\exp\left(800\cdot\tau\right)\cdot\sin\left(200\pi\cdot\text{n}\cdot\tau\right)\space\text{d}\tau\right\}\tag8$

Respuestas (2)

Encontrar la potencia promedio disipada en una resistencia

sstobbe · Answer 1

Su enfoque y la respuesta sugerida son terriblemente complejos para un circuito con una impedancia de carga singular $Z=R + jx$ .

Como esta es una tarea, solo puedo guiarlo sobre cómo abordaría este problema si solo tuviera una libreta de papel disponible (sin Spice o Matlab).

Encuentre el valor RMS de cada fuente de voltaje en función de n.
Aproveche la superposición y escriba la potencia aparente en función de cada fuente de voltaje (las sumará al final).
La potencia aparente del circuito es $V_{rms}^2/Z$ .
Escriba la impedancia de carga en función de n, $Z = R + j\omega L$ , dónde $\omega = 200 \pi n$ .
Normalice la potencia aparente (divida arriba/abajo por el conjugado complejo del denominador).
La potencia disipada por la resistencia es la potencia real. Deje el poder imaginario fuera para reciclar.
Complete la suma de la potencia real debida a cada fuente de voltaje.

Jaime · Answer 2

Tu enfoque es valiente y te dificulta la vida. El primer paso para resolver este problema es darse cuenta de que hasta el cálculo final donde se toma el cuadrado de la corriente, todo es lineal.

Dado que eso es cierto, resuelva para encontrar la contribución a I(t) de cada término de la suma. (ignorando el componente DC 50 por el momento)

V i norte (t) = \frac{400}{π} \frac{pecado (200 norte π t)}{norte}

$Vin(t) = \frac{400}{\pi} \frac{\sin(200 n \pi t)}{n}$

V i norte (t) = R I (t) + L \frac{d I (t)}{d t}

$Vin(t) = R~I(t) + L \frac{dI(t)}{dt}$

Resolviendo eso da:

I (t) = 400 \frac{200 L norte π porque (200 norte π t) - R pecado (200 norte π t)}{norte π (40000 L^{2} {norte}^{2} π^{2} + R^{2})}

$I(t) = 400\frac{200 L n \pi \cos(200 n \pi t) - R \sin(200 n \pi t)}{n \pi (40000~L^2 n^2 \pi^2 + R^2)}$

Ignorando, WLOG, porque buscamos un promedio, cualquier término transitorio no periódico como

{mi}^{- \frac{R t}{L}}

$e^{-\frac{R t}{L}}$

Ahora puede, utilizando la linealidad, volver a montar la suma

I (t) = 400 \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{200 L norte π porque (200 norte π t) - R pecado (200 norte π t)}{norte π (40000 L^{2} {norte}^{2} π^{2} + R^{2})}

$I(t) = 400\sum_{n=1}^\infty \frac{200 L n \pi \cos(200 n \pi t) - R \sin(200 n \pi t)}{n \pi (40000~ L^2 n^2 \pi^2 + R^2)}$

Uno de los resultados útiles que puede o no saber de las matemáticas es que

\int_{0}^{2 π} porque (a t) pecado (b t) d t = 0, \forall a, b \in norte

$\int_0^{2\pi} \cos(a t)\sin(b t)~dt =0, \forall a,b \in \mathbb{N}$

y

\int_{0}^{2 π} pecado (a t) pecado (b t) d t = 0, \forall a, b \in norte y a \neq b

$\int_0^{2\pi} \sin(a t)\sin(b t)~dt =0, \forall a,b \in \mathbb{N} \text{ and } a\neq b$

(de manera similar porque)

La integral que ahora necesitas hacer es

\int_{0}^{1} 400^{2} (\sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{200 L norte π porque (200 norte π t) - R pecado (200 norte π t)}{norte π (40000 L^{2} {norte}^{2} π^{2} + R^{2})}) (\sum_{metro = 1}^{\infty} \frac{200 L metro π porque (200 metro π t) - R pecado (200 metro π t)}{metro π (40000 L^{2} {metro}^{2} π^{2} + R^{2})}) d t

$\int_0^1 400^2 \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{200 L n \pi \cos(200 n \pi t) - R \sin(200 n \pi t)}{n \pi (40000~ L^2 n^2 \pi^2 + R^2)} \right) \left(\sum_{m=1}^\infty \frac{200 L m \pi \cos(200 m \pi t) - R \sin(200 m \pi t)}{m \pi (40000~ L^2 m^2 \pi^2 + R^2)} \right)dt$

Usando las relaciones anteriores, puede ver rápidamente que la mayoría de los términos en la integral desaparecen, cualquier pecado multiplicado por un coseno es cero y cualquier m que no es igual a n es cero. Lo que te queda es:

\int_{0}^{1} 400^{2} \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{(norte π (40000 L^{2} {norte}^{2} π^{2} + R^{2}))^{2}} (200 L norte π porque (200 norte π t))^{2} + (R pecado (200 norte π t))^{2} d t

$\int_0^1 400^2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n \pi (40000~ L^2 n^2 \pi^2 + R^2))^2} (200 L n \pi \cos(200 n \pi t))^2 + (R \sin(200 n \pi t))^2 dt$

saca la suma a través de la integral y las integrales restantes son triviales.

\int_{0}^{1} (C o s (200 π norte t))^{2} d t = \int_{0}^{1} (s i norte (200 π norte t))^{2} d t = \frac{1}{2}

$\int_0^1 (cos(200 \pi n t))^2 dt = \int_0^1 (sin(200 \pi n t))^2 dt = \frac{1}{2}$

Dejaré de resolverlo y pensaré en qué hacer con el componente 50 de DC para que lo haga, ya que parece un problema de tarea y la vista previa ahora está demasiado lejos de la ventana de edición de texto.

Puede encontrar útil el siguiente resultado estándar:

\sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{norte (a^{2} + {norte}^{2})^{2}} = \frac{1}{4 a^{4}} (2 ψ^{(0)} (1 - j a) + 2 ψ^{(0)} (1 + j a) + j a ψ^{(1)} (1 - j a) - j a ψ^{(1)} (1 + j a) + 4 γ)

$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(a^2+n^2)^2} = \frac{1}{4 a^4}\left(2\psi^{(0)}(1-ja)+2\psi^{(0)}(1+ja)+ja\psi^{(1)}(1-ja)-ja\psi^{(1)}(1+ja)+4\gamma \right)$

Aunque esa serie converge con mucha rapidez, es posible que prefiera una solución numérica.

Encontrar la potencia promedio disipada en una resistencia

27 de enero

Respuestas (2)

sstobbe

Jaime

Necesita ayuda para comprender el concepto de "Modelo de circuito de un circuito RL de descarga"

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