Aplicación de Números Complejos [cerrado]

Si considera la potencia real y la potencia imaginaria, estamos hablando de potencia resistiva y potencia reactiva con energía almacenada en inductores y condensadores. La suma vectorial de ambos se llama "potencia aparente"

Incluso en los sistemas mecánicos existen dispositivos recíprocos complejos con energía almacenada en volantes o resortes. Los inductores y los condensadores son similares en el sentido de que pueden almacenar energía, en matemática llamada valor imaginario.

Pero cuando un inductor abre corriente y arcos, se convierte en energía real similar a un cortocircuito en un condensador en alguna resistencia. Aunque este es un ejemplo crudo como poner un freno de palanca en un volante.

Si no posee una copia de los volúmenes de Lectures on Physics de Feynman , le recomiendo una.

Introduce brillantemente los números complejos en el vol. 1, “22-5 Números complejos” . Pero en la siguiente sección, “22-6 exponentes imaginarios” , hace la siguiente famosa afirmación:

Resumimos con esto, la fórmula más notable en matemáticas:

$$\begin{equation} \label{Eq:I:22:9} e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. \end{equation}$$ Esta es nuestra joya.

Hay mucho que cubrir aquí, pero lo remito a esta lección donde aplica la fórmula anterior con respecto a los circuitos de CA: Vol. 2. 22 - Circuitos de CA

Un experto:

Ya hemos discutido algunas de las propiedades de los circuitos eléctricos en los capítulos 23 y 25 del vol. I. Ahora cubriremos parte del mismo material nuevamente, pero con mayor detalle. Nuevamente, vamos a tratar solo con sistemas lineales y con voltajes y corrientes que varían todos sinusoidalmente; entonces podemos representar todos los voltajes y corrientes por números complejos, usando la notación exponencial descrita en el Capítulo 23 del Vol. I. Por lo tanto, un voltaje variable en el tiempo V(t) se escribirá

$$\begin{equation} \label{Eq:II:22:1} V(t)=\hat{V}e^{i\omega t}, \end{equation}$$ dónde $$\hat{V}$$ representa un número complejo que es independiente de t . Por supuesto, se entiende que el voltaje variable en el tiempo real V(t) está dado por la parte real de la función compleja en el lado derecho de la ecuación.

De manera similar, se considerará que todas nuestras otras cantidades variables en el tiempo varían sinusoidalmente a la misma frecuencia ω. Entonces escribimos $$\begin{equation} \begin{aligned} I&=\hat{I}\,e^{i\omega t}\quad(\text{current}),\\[3pt] \xi&=\hat{\xi}\,e^{i\omega t}\quad(\text{emf}),\\[3pt] E&=\hat{E}\,e^{i\omega t}\quad(\text{electric field}), \end{aligned} \label{Eq:II:22:2} \end{equation}$$ etcétera.

La mayor parte del tiempo escribiremos nuestras ecuaciones en términos de V, I, ξ, ... (en lugar de en términos de V̂, Î, ξ̂, ...) recordando, sin embargo, que las variaciones de tiempo se dan en ( 22.2).

En nuestra discusión anterior sobre circuitos asumimos que cosas como inductancias, capacitancias y resistencias le eran familiares. Ahora queremos ver con un poco más de detalle lo que significan estos elementos de circuito idealizados. Empezamos con la inductancia.

• Nota: no trate esto como una respuesta, sino como una referencia complementaria

Por un lado, hace que las matemáticas sean mucho más fáciles. Por ejemplo, piensa en resolver ecuaciones diferenciales. Es mucho más simple usar la Transformada de Laplace y resolver la ecuación diferencial, en lugar de usar técnicas clásicas. Sobre el mismo tema, da otra perspectiva al mismo problema desde el punto de vista del dominio de la frecuencia.

También existen herramientas como los diagramas de Bode, que brindan fácilmente aproximaciones rápidas de cómo se comporta un sistema en el dominio de la frecuencia.

Si está haciendo un análisis en el dominio del tiempo, todo se expresa en números reales: voltajes, corrientes, resistencias, porque estos son siempre valores instantáneos simples. Cuando haces un análisis en el dominio de la frecuencia , ahí es cuando entran los números complejos, porque cantidades como voltajes, corrientes e impedancias tienen tanto una magnitud como una fase; expresar tales cantidades como números complejos ayuda al realizar cálculos.