En una colisión elástica, podemos elegir entre contras. de energía y contras. de impulso?

Question

En una colisión elástica, podemos elegir entre contras. de energía y contras. de impulso?

Raciones

Supongamos que tenemos dos esferas sólidas con masas $m$ y $M$ , respectivamente, y que $m$ es significativamente menor que $M$ . La esfera más ligera se coloca directamente encima de la más pesada, y las dos se dejan caer juntas al suelo desde una altura $h$ .

Se nos dice que todas las colisiones posteriores entre las bolas y el suelo son elásticas, y se nos pide que determinemos la altura máxima a la que se elevará la pequeña esfera en el rebote.

El problema no menciona ningún radio, pero si supiéramos el radio de cada esfera, ¿sería posible omitir los cálculos de conservación de la cantidad de movimiento lineal por completo y usar una sola ecuación de conservación de energía, tal vez algo como:

(METRO + metro) gramo h_{i} = metro gramo h_{F}

$(M + m)gh_i = mgh_f$

Editar: 30/4: revisé la redacción original del problema, que mencionaba que podíamos suponer la presencia de un pequeño espacio entre las bolas. Me doy cuenta de que, en ausencia de esta suposición, el comportamiento de las bolas variaría según las características de su material.

Reid Erdwien

@Floris Es bastante obvio por el contexto, pero para mayor claridad, es posible que desee decir "no lo llevará muy lejos" en lugar de "no lo llevará muy lejos".

floris

@ReidErdwien: fue un error tipográfico (malditos teclados de teléfonos). Volveré a publicar el comentario ya que no puedes editarlo...

floris

Una sola ecuación con dos incógnitas no te llevará muy lejos. El problema es que la bola de abajo también subirá después del rebote, por lo que tienes dos incógnitas.

Raciones

Gracias. Entonces, parece que una de mis suposiciones iniciales, que la esfera inferior no rebotaría, era incorrecta, en cuyo caso la ecuación que propuse en la publicación original no funcionaría.

Raciones

Ahora estoy tratando de demostrar matemáticamente que la esfera inferior no rebota. Hasta ahora, creo que he podido hacerlo usando la contradicción al comparar las ecuaciones de contras de energía y contras de cantidad de movimiento después de sustituir

v_{f} = 0

$v_{f} = 0$ para la bola de abajo. ¿Hay una "prueba" más obvia o intuitiva que estoy pasando por alto?

Abhimanyu Pallavi Sudhir

Ambos se conservan en colisiones elásticas. No estoy seguro de lo que quiere decir con "elegir": simplemente use lo que sea importante para averiguar lo que quiera averiguar. Una colisión elástica general con masas y velocidades iniciales conocidas suele resolverse con ambas.

Raciones

Lo sé. Originalmente pensé que sería posible resolver la altura final usando una sola ecuación de consumo de energía. Quería saber cómo elegir entre usar dicho enfoque y usar un enfoque de cons.-of-energy + cons.-of-momentum, precisamente porque sabía que ambas formas de conservación estaban ocurriendo en el escenario. Pero en este punto, mis errores han sido identificados y mi pregunta ha sido respondida.

Raciones

@user78234 Estaba pensando en bolas de billar y pasé por alto el hecho de que

m

$m$ y

M

$M$ eran diferentes: PI luego concluyó erróneamente que la esfera inferior transferiría toda su energía cinética a la esfera superior.

Raciones

@user78234 Sí, lo siento, no estaba claro. Entonces, suponiendo que ambas bolas tengan una dureza "perfecta" (es decir, que no se deformen), ¿simplemente las trataríamos como un sistema unificado y luego concluiríamos que ambas rebotarían a la altura original?

david blanco

He visto esta demostración en un salón de clase de física de la escuela secundaria, y es bastante notable... la pelota pequeña rebota GRANDE cuando sale de la pelota grande.

Respuestas (4)

En una colisión elástica, podemos elegir entre contras. de energía y contras. de impulso?

@Floris Es bastante obvio por el contexto, pero para mayor claridad, es posible que desee decir "no lo llevará muy lejos" en lugar de "no lo llevará muy lejos".
@ReidErdwien: fue un error tipográfico (malditos teclados de teléfonos). Volveré a publicar el comentario ya que no puedes editarlo...
Una sola ecuación con dos incógnitas no te llevará muy lejos. El problema es que la bola de abajo también subirá después del rebote, por lo que tienes dos incógnitas.
Gracias. Entonces, parece que una de mis suposiciones iniciales, que la esfera inferior no rebotaría, era incorrecta, en cuyo caso la ecuación que propuse en la publicación original no funcionaría.
Ahora estoy tratando de demostrar matemáticamente que la esfera inferior no rebota. Hasta ahora, creo que he podido hacerlo usando la contradicción al comparar las ecuaciones de contras de energía y contras de cantidad de movimiento después de sustituir $v_{f} = 0$ para la bola de abajo. ¿Hay una "prueba" más obvia o intuitiva que estoy pasando por alto?
Ambos se conservan en colisiones elásticas. No estoy seguro de lo que quiere decir con "elegir": simplemente use lo que sea importante para averiguar lo que quiera averiguar. Una colisión elástica general con masas y velocidades iniciales conocidas suele resolverse con ambas.
Lo sé. Originalmente pensé que sería posible resolver la altura final usando una sola ecuación de consumo de energía. Quería saber cómo elegir entre usar dicho enfoque y usar un enfoque de cons.-of-energy + cons.-of-momentum, precisamente porque sabía que ambas formas de conservación estaban ocurriendo en el escenario. Pero en este punto, mis errores han sido identificados y mi pregunta ha sido respondida.
@user78234 Estaba pensando en bolas de billar y pasé por alto el hecho de que $m$ y $M$ eran diferentes: PI luego concluyó erróneamente que la esfera inferior transferiría toda su energía cinética a la esfera superior.
@user78234 Sí, lo siento, no estaba claro. Entonces, suponiendo que ambas bolas tengan una dureza "perfecta" (es decir, que no se deformen), ¿simplemente las trataríamos como un sistema unificado y luego concluiríamos que ambas rebotarían a la altura original?
He visto esta demostración en un salón de clase de física de la escuela secundaria, y es bastante notable... la pelota pequeña rebota GRANDE cuando sale de la pelota grande.

usuario77834 · Answer 1

.... Se nos dice que todas las colisiones posteriores entre las bolas y el piso son elásticas . Se nos pide que determinemos la altura máxima a la que se elevará la pequeña esfera en el rebote.

El problema no menciona ningún radio, pero si conociéramos el radio de cada una de las esferas, ¿sería válido omitir los cálculos de conservación del momento lineal por completo y usar una única conservación de energía?

Es una contradicción porque una colisión elástica se define como aquella en la que se conservan tanto la EC como la cantidad de movimiento. Una sola ecuación no es suficiente para definir el resultado de la colisión.

Conocer los radios no ayuda, por cierto, a resolver ningún problema de este tipo, ya que las bolas se suelen considerar de densidad uniforme y el centro de masa coincide con el centro de gravedad y con el punto de aplicación de todos los vectores.

Si conoce las fórmulas, ponga cualquier valor que desee y resuelva un ejemplo en particular, a menos que le pidan una fórmula general.

Dado que esta es una pregunta de tarea, nadie puede darle más detalles.

Gracias. No quise dar a entender que podía ignorar el concepto de contras. de impulso en total. Pensé que conocer los radios afectaría las alturas en cualquier contra. de ecuaciones de energía que podría usar (aunque encontrar el centro de masa podría ser innecesariamente laborioso cuando se dispone de un enfoque de contra del momento). De todos modos, parece que asumí incorrectamente que la esfera inferior no rebotaría (ver otro hilo de comentarios). (Además, para ser transparente, la pregunta es una que me envió un amigo de la universidad por diversión, y estoy interesado en comprender mejor los conceptos que relaciona).
He agregado una aclaración a mi publicación original y creo que ahora entiendo ambas interpretaciones de este problema. Perdón por la confusión.

Conde Iblis · Answer 2

En una colisión elástica entre dos objetos se conservan tanto el momento como la energía. Puede simplificar las cosas considerando estas leyes de conservación en el marco del centro de masa. Allí la cantidad de movimiento total es cero, por lo tanto, un objeto tendrá la cantidad de movimiento opuesta al otro. Dado que la energía es el cuadrado de la cantidad de movimiento dividido por el doble de la masa, esto significa que la energía cinética total es proporcional al cuadrado de la cantidad de movimiento y, por lo tanto, debe ser la misma antes y después de la colisión. por lo tanto, la magnitud de la cantidad de movimiento no puede cambiar, por lo que podemos concluir que todo lo que puede suceder es que la cantidad de movimiento cambie de dirección. En un entorno unidimensional como en este problema, esto significa que los momentos de ambos objetos simplemente cambian de signo.

Entonces, usando la conservación de la energía y del momento, hemos reducido todos los problemas de colisión unidimensional a una mera trivialidad: transforme al marco del centro de masa, cambie el signo de los momentos y luego transforme de nuevo al marco original. Luego, en el caso de que una de las masas sea mucho más grande que la otra masa, el marco del centro de masa es el marco de reposo de esa masa, lo que hace que sea aún más fácil resolver el problema.

Veamos si podemos abordar este problema usando el método que derivé anteriormente. Aquí debe considerar que cuando la bola choca con el suelo, es una colisión de la bola grande con la Tierra, obviamente, debe llevar la bola grande a la masa ligera. Además, cuando ocurre esa colisión, la bola pequeña inicialmente seguirá moviéndose hacia el suelo y solo una fracción más tarde sentirá el impacto debido a que la bola grande cambió de dirección.

Entonces, si la pelota golpea el suelo con una velocidad v, entonces esta velocidad invertirá el signo ya que estamos trabajando en el sistema de reposo de la Tierra, que es el centro de masa relevante para esa colisión con el suelo. Pero entonces lo que sucede es que la bola pequeña que todavía se mueve a velocidad v hacia el suelo golpea la bola grande que se mueve hacia arriba con velocidad v. En el marco de reposo de la bola grande, la bola pequeña se mueve hacia ella con velocidad 2 v. Dado que este marco es, en buena aproximación, el marco del centro de masa relevante para la colisión que está a punto de ocurrir, se deduce que después de la colisión, la velocidad será de 2 v en relación con la bola grande. Luego, volviendo a transformar el marco original, vemos que después de la colisión, la pequeña bola tendrá una velocidad de 3 v en relación con el suelo.

Esto significa que la energía cinética de la pequeña bola después de la colisión será 9 veces mayor que la que tenía antes de la colisión y eso implica que alcanzará 9 veces la altura desde la que se dejó caer.

Nota: El resultado no depende de la suposición de que haya un pequeño espacio entre las dos bolas.

Algunos comentaristas y algunas otras respuestas afirman erróneamente que la respuesta dada aquí es incorrecta, porque el sitio web de Hyperphysics afirma que sin que haya un pequeño espacio entre las bolas, el resultado será diferente. Ahora, aparte del hecho de que los sitios web de Hiperfísica no hacen tal afirmación en absoluto, la aparente dependencia de la brecha es un artefacto de la forma en que uno trata las colisiones simultáneas. Por supuesto, uno puede argumentar que las cosas son realmente un poco diferentes cuando la colisión ocurre simultáneamente, pero todas las suposiciones hechas deberían ser explícitas, lo cual no se hizo.

En pocas palabras, si con un espacio de cero la bola pequeña no se eleva tan alto, ¿qué pasó con la energía que habría entrado en la bola pequeña si el espacio no hubiera estado allí? Entonces, las suposiciones ocultas hechas conducen a que la energía se disipe en forma de vibraciones en la gran bola. Pero como muestro a continuación, esto no es del todo obvio, no llegará a esta conclusión si solo analiza el problema con más detalle.

Entonces, permítanme explicar aquí por qué la brecha no importa en el espíritu de este problema donde hacemos la suposición de colisiones elásticas, donde las dos bolas ciertamente no están pegadas entre sí. En el momento en que la bola inferior choca contra el suelo, la bola superior junto con el punto de contacto se mueven hacia el suelo con velocidad v mientras que la parte inferior de la bola se ha detenido. La compresión de la bola en el punto de contacto con el suelo ocurre primero, la onda de choque debe propagarse al otro extremo de la bola antes de que el punto de contacto con la otra bola se detenga y la bola superior comience a comprimirse. allí. Cuando eso suceda, el punto de contacto con la bola superior terminará moviéndose hacia la bola con una velocidad relativa de 2 v. Esto significa que cuando ese movimiento elástico rebote, esta velocidad relativa de 2 v invertirá el signo. Después de ese punto, el punto de contacto se ralentizará y creará un espacio entre la bola superior (no está pegada a la bola inferior, por lo que se alejará). Entonces, llegamos de nuevo al mismo resultado.

Por supuesto, se puede argumentar que es necesario un tratamiento más detallado de los movimientos elásticos de las bolas y que la velocidad relativa de 2 v no es precisa. Uno tiene que notar aquí que el movimiento interno de las bolas elásticas es el proceso por el cual la energía cinética se disipa en calor, por lo que en realidad apunta a la imposibilidad de tener colisiones elásticas perfectas para empezar.

Bueno... la bola más pequeña está justo encima de la más grande. No puede tratar los cambios de velocidad como si primero chocara con la tierra y luego con la bola más pequeña. Porque choca con ambos simultáneamente.
O los trata como colisiones separadas o debe usar un modelo realista consistente solo con interacciones elásticas. En este último caso, no se puede imponer que las velocidades se mantengan iguales, en el momento en que la bola grande choca contra el suelo es sólo la parte en contacto con el suelo la que deja de moverse, el otro lado sigue moviéndose, rebota. El resultado final solo dependerá de las leyes de conservación, por lo que en realidad no importa si reemplaza la situación real por otra en la que se produzcan las mismas interacciones pero sin complicaciones innecesarias.
Tu respuesta es verdadera solo si hay un pequeño espacio entre las bolas. Si solo se tocan, entonces no puede tratar las dos colisiones como si tuvieran lugar una tras otra. Puede superponer el efecto de las dos colisiones en la bola más grande. Pero no puede tratar eso una vez que se realiza esta colisión y luego se produce la otra. (si solo se tocan)
Gracias por la clara explicación, Conde. Supuse erróneamente que la bola inferior se detendría por completo y transferiría toda su energía cinética a la bola superior. Dos preguntas de seguimiento: (1) Porque $M$ es tan grande en comparación con $m$ , la segunda colisión no debería afectar realmente la altura de rebote de $M$ , ¿bien? (2) Si llevamos a cabo este experimento usando dos pelotas idénticas, ¿deberían ambas volver a la altura original después de "rebotar"?
Sí, tienes razón sobre (1) y (2). En caso de desastres idénticos, la bola inferior se movería en la dirección opuesta inmediatamente después de rebotar en el suelo, por lo que tienes dos masas idénticas que viajan en dirección opuesta. Después de chocar, por lo tanto, invertirán sus velocidades, la bola superior se moverá hacia arriba con la misma velocidad, mientras que la masa inferior golpeará el suelo nuevamente y luego se moverá hacia arriba.
Conde Iblis: " Algunos comentaristas y otra respuesta afirman erróneamente que el resultado depende de si hay o no un pequeño espacio entre las bolas. La aparente dependencia del espacio es un artefacto..." Eso es incorrecto, esa afirmación la hace Hiperfísica y mi cita es del enlace citado. Si las bolas no están separadas, el topball nunca llegará a 3v y 9h.
Pero no puedes hacer física simplemente citando una fuente sin más discusión. Lo que debe discutirse es cómo exactamente los dos casos conducen a resultados diferentes, y cuando lo haga, quedará claro cuáles son las suposiciones ocultas que se hacen. Entonces, no se trata de las respuestas, sino de cómo llegas a las respuestas y la física relevante involucrada. Solo decir que debe haber una pequeña brecha no explica mucho, como explico en detalle en mi respuesta.
La hiperfísica en realidad no afirma que la brecha sea necesaria.

usuario78409 · Answer 3

El problema no menciona ningún radio, pero si supiéramos el radio de cada esfera, ¿sería posible omitir por completo los cálculos de conservación de la cantidad de movimiento lineal?

La respuesta aceptada te ha confundido:

Puede simplificar las cosas considerando estas leyes de conservación en el marco del centro de masa. Allí la cantidad de movimiento total es cero, por lo tanto, un objeto tendrá la cantidad de movimiento opuesta al otro.

Puede encontrar una explicación clara del problema en hiperfísica :

ingrese la descripción de la imagen aquí si $m_B>m_b$ si masas $m_B = m_b$

Cambiar el marco de referencia aquí es inútil y engañoso, ya que en este caso el marco de laboratorio coincide con el marco del centro de masa. (el suelo-Tierra es 10^24 veces mayor que B). En el enlace muestran el caso más interesante cuando se considera el marco de referencia de la bola más grande B.

Otro aspecto a ser subrayado es que: - las dos bolas B, b no deben tocarse en primer lugar: " ..Las dos bolas ligeramente separadas que se dejan caer desde la misma altura son vistas por un observador desde el suelo acercándose a la superficie con velocidad v... " Si la bola superior golpea la bola inferior antes de que haya rebotado, entonces el resultado no es el mismo.

El problema es bastante simple si considera las dos colisiones elásticas separadas:

B golpea el suelo y rebota con (casi) la misma velocidad -v
B choca con b que se aproxima con velocidad +v y rebota con velocidad +2v con referencia a +v

Supuse erróneamente que la bola inferior se detendría por completo y transferiría toda su energía cinética a la bola superior. Dos preguntas de seguimiento: (1) Debido a que M es tan grande en comparación con m, la segunda colisión realmente no debería afectar la altura de rebote de M, ¿verdad? (2) Si llevamos a cabo este experimento usando dos pelotas idénticas, ¿deberían ambas volver a la altura original después de "rebotar"? – Raciones

La relación entre la masa de una pelota de baloncesto y una de tenis es aproximadamente 1:11, si M/m disminuye, el resultado siempre es diferente:

si las dos bolas tienen la misma masa, en la segunda colisión intercambian sus velocidades, la bola de abajo se detiene por completo como dices, pero luego obtiene la velocidad de la bola de arriba.

Por lo tanto, la pelota superior rebota en -v y la pelota inferior en +v y, en consecuencia, tiene una tercera colisión con el suelo donde rebota por segunda vez aproximadamente en -v

"Cambiar el marco de referencia aquí es inútil y engañoso" No es porque la persona esté aprendiendo física aquí.
El marco de laboratorio coincide con el marco de CM, decir que uno debe cambiar al marco de CM es ilógico y, por lo tanto, inútil y confuso, especialmente para un alumno. En cuanto a la separación de la pelota, la cita y el reclamo son de hiperfísica.
Sólo coincide con el CM en caso de colisión con el suelo. El hecho de que el marco de laboratorio ya sea el marco CM en caso de la primera colisión es algo trivial que espera que el estudiante note. Si no, entonces cualquier confusión que cause es algo bueno.

usuario78660 · Answer 4

Si supiéramos el radio de cada esfera, ¿sería posible omitir los cálculos de conservación de la cantidad de movimiento lineal por completo y utilizar una única ecuación de conservación de la energía...

El radio de una pelota siempre es irrelevante para el resultado de una colisión, lo que cuenta es la proporción de las masas. Siempre son necesarias dos ecuaciones para determinar el resultado de un impacto (m, M): si m = 1 y v = 10, KE = 50. En una colisión elástica ese valor se conserva, pero hay muchas formas en que lo hará y eso depende de las masas: 50+0, 25+25, 12,5+37,5 etc.

Este enlace es muy útil y tiene una calculadora donde cualquiera puede verificar sus cálculos, aprender las fórmulas y verificar todas las declaraciones en esta respuesta.

Si h = 0,8 m, $M>>m : M/m =99$ , y se separan las bolas para que impacten después de que M haya rebotado y recuperado aproximadamente su velocidad en sentido contrario (v = 4 m/s), m rebotará con una velocidad de 11,84 m/s y M continuará con una velocidad ligeramente velocidad reducida (v = 3,84 m/s). KE (800) se conserva (70+730) y también el impulso (392 = 11.84+380.16)

ingrese la descripción de la imagen aquí , en el caso citado por Dvij:

de una pelota de tenis+baloncesto M/m = 10, el rebote de la pelota de tenis será de solo 2,5v (= 10,5 m/s).

Por último, la bola inferior se detendrá en seco solo cuando M/m = 3 y m rebotará exactamente a 8 m/s

Bottom Ball se detiene en seco ingrese la descripción de la imagen aquí

Dado que OP aún no tiene una imagen clara y ha aceptado una respuesta incorrecta, es necesario aclarar que, si la pelota se toca cuando llega al suelo, solo hay una colisión y el marco Lab es exactamente el marco CM.

Entonces, suponiendo que ambas bolas tengan una dureza "perfecta" (es decir, que no se deformen), ¿simplemente las trataríamos como un sistema unificado y luego concluiríamos que ambas rebotarían a la altura original ?

No Gap ingrese la descripción de la imagen aquí Hard Top-Ball

El resultado de la colisión con el suelo depende no sólo de la relación entre las masas, sino también de la dureza de las bolas y del tiempo que tardan en recuperar su forma y velocidad originales: una bola de golf, incluso sola, es completamente aplastado cuando golpea una pared, si la bola superior es dura, apenas impactará contra el piso, si es blanda, también se aplastará. Dependiendo de estos factores, la velocidad final de m varía entre v y 2 v.

Es poco probable que las 2 bolas reboten alguna vez a la misma altura.

Publiqué una respuesta ya que no puedo votar negativamente ni publicar un comentario en ninguna otra publicación.
Gracias. Creo que no estoy siendo claro en mis comentarios. Volví a mirar el texto del problema y mencionaba que debemos suponer que hay un pequeño espacio entre las bolas. (Sin embargo, entiendo lo que ustedes están diciendo sobre el escenario sin brechas). También entiendo que el comportamiento de las bolas depende de la proporción de sus masas. Lo que supuse fue que $M >> m$ hasta el punto donde $M$ perdería una cantidad insignificante de velocidad después de su colisión con $m$ (y por lo tanto esencialmente rebotaría a su altura original).
"Dependiendo de estos factores, la velocidad final de m varía entre v y 2 v". Eso no es cierto, el rango será de v y 3 v.

En una colisión elástica, podemos elegir entre contras. de energía y contras. de impulso?

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