El modelo unidimensional de Kronig-Penney: tratando de comprender la relación entre la energía de salto y la masa efectiva

Question

El modelo unidimensional de Kronig-Penney: tratando de comprender la relación entre la energía de salto y la masa efectiva

electra

El modelo unidimensional de Kronig-Penney predice una relación entre energía, $E$ y número de onda, $k$ de la forma:
$porque (k a) = porque (q a) - \frac{{metro}_{mi} A t_{0} pecado (q a)}{ℏ^{2} q a}$ $\cos(ka)=\cos(qa) - \frac{m_e\,A\,t_0\,\sin(qa)}{\hbar^2\,qa}$ dónde $q = \sqrt{\frac{2 {metro}_{mi} mi}{ℏ^{2}}}$ $q=\sqrt{\frac{2m_e\,E}{\hbar^2}}$ y $m_e$ es la masa del electrón, $\alpha$ es la constante de red, $A$ [ $m^2$ ] es una constante, y $t_0$ es la energía de salto. En el límite de lo pequeño $k$ y pequeña $E$ , encuentre una relación de dispersión aproximada $E(k)$ para el modelo Demuestre que la masa efectiva ${m_e}^*$ está relacionado con la magnitud de la energía de salto, $t_0$ por: ${metro}_{mi}^{*} = {metro}_{mi} (1 - \frac{{metro}_{mi} A t_{0}}{3 ℏ^{2}})$ ${m_e}^*=m_e\left(1-\frac{m_e\,A\,t_0}{3\hbar^2}\right)$

Usando una aproximación para trabajar cerca del borde de la banda: en este caso, eligiendo $ka \ll 1$ . Asimismo, señalar que $qa \ll 1$ para pequeños valores de $k$ . Amplio las funciones trigonométricas para encontrar términos de segundo orden en $k$ y $q$ , tal que,

1 - \frac{k^{2} a^{2}}{2} = 1 - \frac{{metro}_{mi} mi a^{2}}{ℏ^{2}} - \frac{{metro}_{mi} A t_{0}}{q a ℏ^{2}} (q a - \frac{q^{3} a^{3}}{6})

$1-\frac{k^2\,a^2}{2}=1-\frac{m_e\,E\,a^2}{\hbar^2}-\frac{m_e\,A\,t_0}{q\,a\,\hbar^2}\left(qa-\frac{q^3\,a^3}{6}\right)$

⟹ \frac{k^{2} a^{2}}{2} = \frac{{metro}_{mi} mi a^{2}}{ℏ^{2}} + \frac{{metro}_{mi} A t_{0}}{ℏ^{2}} (1 - \frac{{metro}_{mi} mi a^{2}}{3 ℏ^{2}})

$\implies \frac{k^2\,a^2}{2}=\frac{m_e\,E\,a^2}{\hbar^2}+\frac{m_e\,A\,t_0}{\hbar^2}\left(1-\frac{m_e\,E\,a^2}{3\hbar^2}\right)$

⟹ \frac{k^{2} a^{2}}{2} = \frac{{metro}_{mi} a^{2}}{ℏ^{2}} mi (1 - \frac{{metro}_{mi} A t_{0}}{3 ℏ^{2}}) + \frac{{metro}_{mi} A t_{0}}{ℏ^{2}}

$\implies \frac{k^2\,a^2}{2}=\frac{m_e\,a^2}{\hbar^2}E\left(1-\frac{m_e\,A\,t_0}{3\hbar^2}\right)+\frac{m_e\,A\,t_0}{\hbar^2}$

Reordenando esto para obtener una relación de dispersión:

mi = \frac{ℏ^{2} k^{2}}{2 {metro}_{mi}} {(1 - \frac{{metro}_{mi} A t_{0}}{3 ℏ^{2}})}^{- 1} + t_{0} \frac{A}{a^{2}} {(1 - \frac{{metro}_{mi} A t_{0}}{3 ℏ^{2}})}^{- 1}

$E=\frac{\hbar^2\,k^2}{2\,m_e}\left(1-\frac{m_e\,A\,t_0}{3\hbar^2}\right)^{-1}+t_0\frac{A}{a^2}\left(1-\frac{m_e\,A\,t_0}{3\hbar^2}\right)^{-1}$

tengo todo correcto hasta este punto.....

.... pero luego la solución dice:

Podemos identificar inmediatamente la masa efectiva:
${metro}_{mi}^{*} = {metro}_{mi} (1 - \frac{{metro}_{mi} A t_{0}}{3 ℏ^{2}})$ ${m_e}^*=m_e\left(1-\frac{m_e\,A\,t_0}{3\hbar^2}\right)$ según sea necesario. Vale la pena pensar en este resultado... Implica que cuanto mayor sea la energía de salto, menor será la masa efectiva. ¿Tiene sentido esto para ti? Tenga en cuenta que esta expresión es válida para los niveles de energía más bajos. Es esencialmente el modelo de unión estrecha pero con una parametrización diferente.

¿Cómo pudo el autor

identificar inmediatamente la masa efectiva $\large({\color{red}{\large{?}}}\large)$

Esto está lejos de ser obvio para mí. De una pregunta anterior hecha por mí: ¿ Qué significa decir que la energía de Fermi es igual a la energía de salto? , he visto expresiones de energía que involucran la integral de salto $t$ , como

{mi}_{k} = - 2 t [porque (k_{X} a) + porque (k_{y} a) + porque (k_{z} a)],

$E_{\bf{ k}}=-2t\left[\cos(k_x\,a)+\cos(k_y\,a)+\cos(k_z\,a)\right],$

{mi}_{F} = + 4 t,

$E_F=+4t,$ y con un desplazamiento,

ϵ

$\epsilon$ :

{mi}_{k} = ϵ - 2 t [porque (k_{X} a) + porque (k_{y} a)]

$E_{\bf{ k}}=\epsilon-2t\left[\cos(k_x\,a)+\cos(k_y\,a)\right]$

El autor también escribe

Implica que cuanto mayor sea la energía de salto, menor será la masa efectiva. ¿Tiene sentido esto para ti?

No tiene sentido para mí en absoluto.

¿Podría alguien explicar lo que dice el autor, ya que realmente me gustaría entender esto?

Editar:

aun no veo como

{metro}_{mi}^{*} \propto \frac{1}{t_{0}}

${m_e}^*\propto \frac{1}{t_0}$ Me parece mucho que desde

mi = \frac{ℏ^{2} k^{2}}{2 {metro}_{mi}} {(1 - \frac{{metro}_{mi} A t_{0}}{3 ℏ^{2}})}^{- 1} + t_{0} \frac{A}{a^{2}} {(1 - \frac{{metro}_{mi} A t_{0}}{3 ℏ^{2}})}^{- 1}

$E=\frac{\hbar^2\,k^2}{2\,m_e}\left(1-\frac{m_e\,A\,t_0}{3\hbar^2}\right)^{-1}+t_0\frac{A}{a^2}\left(1-\frac{m_e\,A\,t_0}{3\hbar^2}\right)^{-1}$ y

{metro}_{mi}^{*} = {metro}_{mi} (1 - \frac{{metro}_{mi} A t_{0}}{3 ℏ^{2}})

${m_e}^*=m_e\left(1-\frac{m_e\,A\,t_0}{3\hbar^2}\right)$ entonces

mi = \frac{ℏ^{2} k^{2}}{2 {metro}_{mi}} \frac{{metro}_{mi}}{{metro}_{mi}^{*}} + t_{0} \frac{A}{a^{2}} \frac{{metro}_{mi}}{{metro}_{mi}^{*}} ⟹ mi \propto \frac{t_{0}}{{metro}_{mi}^{*}} ⟹ {metro}_{mi}^{*} \overset{(???)}{\propto} t_{0}

$E=\frac{\hbar^2\,k^2}{2\,m_e}\frac{m_e}{{m_e}^*}+t_0\frac{A}{a^2}\frac{m_e}{{m_e}^*}\implies E\propto \frac{t_0}{{m_e}^*}\implies {m_e}^*\stackrel{\eqref{*}}\propto t_0$

Respuestas (1)

El modelo unidimensional de Kronig-Penney: tratando de comprender la relación entre la energía de salto y la masa efectiva

sintético · Answer 1

Por lo general, hay dos tipos de aproximaciones complementarias que se utilizan en la teoría de bandas. Uno está asumiendo dispersión parabólica.

mi (k) = \frac{ℏ^{2} k^{2}}{2 {metro}_{mi}^{*}} + {mi}_{0}

$E(k)=\frac{\hbar^2k^2}{2m_e^*} + E_0$ Despreciando la energía compensada

E_{0}

$E_0$ , esto es equivalente a la dispersión de un electrón libre (por ejemplo en el vacío) que se puede describir (a baja velocidad

< c

$<c$ ) por el hamiltoniano

H = \frac{{pag}^{2}}{2 {metro}_{mi}}

$H=\frac{p^2}{2m_e}$ La primera ecuación se puede derivar de la segunda usando

p = - i ℏ \partial_{x}

$p=-i\hbar\partial_x$ y suponiendo funciones de agua de ondas planas

ψ (r, x) \propto e^{i k x}

$\psi(r,x)\propto e^{i k x}$ . En este sentido, la masa

m_{e}^{*}

$m_e^*$ se llama efectivo, porque en general es diferente de la masa "real" del electrón. Ahora, si comparas la primera ecuación con tu relación de dispersión que escribiste:

mi = \frac{ℏ^{2} k^{2}}{2 {metro}_{mi}} \times {(algo)}^{- 1} + (algo más)

$E=\frac{\hbar^2k^2}{2m_e}\times \text{(something)}^{-1} + \text{(something else)}$ lo reconoces

{metro}_{mi}^{*} = {metro}_{mi} \times (algo)

$m_e^*=m_e \times \text{(something)}$ En general, puede simplemente definir la masa efectiva en términos de la segunda derivada de la dispersión, es decir

{metro}_{mi}^{*} = [(\partial_{k}^{2} mi) / ℏ^{2}]^{- 1}

$m_e^*=[(\partial_k^2 E)/\hbar^2]^{-1}$ que de nuevo da el mismo resultado.

Ahora, con respecto a la segunda parte de su pregunta, mencioné que hay dos tipos principales de aproximaciones en la teoría de bandas. El segundo es el vínculo estricto:

mi = - 2 t porque k

$E=-2t\cos{k}$ donde solo considero el caso unidimensional. ahora cerca de

k \approx 0

$k\approx0$ se recupera la dispersión parabólica porque se tiene

mi = - 2 t porque k \approx - 2 t + t k^{2}

$E=-2t\cos{k}\approx -2t + t k^2$ Por lo tanto al comparar con la dispersión parabólica se puede identificar

t = \frac{ℏ^{2}}{2 {metro}_{mi}^{*}}

$t=\frac{\hbar^2}{2m_e^*}$ que es la relación entre el parámetro de salto y la masa efectiva. Alternativamente, si lo desea, puede definir nuevamente la masa efectiva en términos de la derivada 2da de las dispersiones y obtener

{metro}_{mi}^{*} = [(\partial_{k}^{2} mi) / ℏ^{2}]^{- 1} = \frac{ℏ^{2}}{2 t}

$m_e^*=[(\partial_k^2 E)/\hbar^2]^{-1}=\frac{\hbar^2}{2t}$ Ahora, puedes ver claramente que cuanto mayor sea el salto

t

$t$ , menor es la masa efectiva, como dice el autor.

Para resumir, la masa efectiva y el salto se definen como

t = \frac{ℏ^{2}}{2 {metro}_{mi}^{*}} = \frac{1}{2} \partial_{k}^{2} mi (k)

$t=\frac{\hbar^2}{2m_e^*}=\frac12\partial_k^2 E(k)$

Editar:

Para responder a la última edición de la pregunta, que tiene la ecuación

mi = \frac{ℏ^{2} k^{2}}{2 {metro}_{mi}} \frac{{metro}_{mi}}{{metro}_{mi}^{*}} + t_{0} \frac{A}{a^{2}} \frac{{metro}_{mi}}{{metro}_{mi}^{*}} ⟹ mi \propto \frac{t_{0}}{{metro}_{mi}^{*}} ⟹ {metro}_{mi}^{*} \overset{(???)}{\propto} t_{0}

$E=\frac{\hbar^2\,k^2}{2\,m_e}\frac{m_e}{{m_e}^*}+t_0\frac{A}{a^2}\frac{m_e}{{m_e}^*}\implies E\propto \frac{t_0}{{m_e}^*}\implies {m_e}^*\stackrel{\eqref{*}}\propto t_0$

Me doy cuenta de que estas implicaciones son falsas. La energía es proporcional a la inversa de la masa efectiva. La energía se escribe como una suma de dos términos. El primer término es proporcional a $k^2$ y se puede escribir como $tk^2$ dónde $t=\hbar^2/(2m_e^*)$ es el salto (como escribí arriba). El segundo término no depende del impulso. El constante $t_0$ no es el salto. Además, no puedes escribir que la energía es proporcional a $t_0$ porque no puedes simplemente ignorar el primer término. Hasta un término constante, la energía es proporcional a $k^2$ y la constante proporcional es $t\neq t_0$ .

Perdón por la respuesta tardía. Estoy un poco confundido acerca de "Ahora, puedes ver claramente que cuanto más grande es el salto $t$ , cuanto menor es la masa efectiva, como dice el autor". $E=\frac{\hbar^2\,k^2}{2\,m_e}(1-\frac{m_e\,A\,t_0}{3\hbar^2})^{-1}+t_0\frac{A}{a^2}(1-\frac{m_e\,A\,t_0}{3\hbar^2})^{-1}$ y ${m_e}^*=m_e(1-\frac{m_e\,A\,t_0}{3\hbar^2})$ entonces $E=\frac{\hbar^2\,k^2}{2\,m_e}\frac{m_e}{{m_e}^*}+t_0\frac{A}{a^2}\frac{m_e}{{m_e}^*}\implies E\propto \frac{t_0}{{m_e}^*}\implies {m_e}^*\propto t_0$ . Entonces, ¿parece que el salto es directamente proporcional a la masa efectiva? Gracias.
No. La energía es proporcional a la inversa de la masa efectiva, y creo que podemos estar de acuerdo en esto. La energía se escribe como una suma de dos términos. El primer término es proporcional a $k^2$ . Este término se puede escribir como $t k^2$ dónde $t$ es el salto. El segundo término no depende del impulso. El constante $t_0$ no es el salto, es solo parte del término constante. Creo que la notación del libro puede ser confusa, pero es correcta.
Además, no puedes escribir que la energía es proporcional a $t_0/m_e^*$ porque no puedes simplemente cancelar el primer término. El segundo término que es proporcional a $t_0$ es sólo un cambio de energía constante.
En general, estoy de acuerdo con esta respuesta. Sin embargo, no me opondría a la aproximación de masa efectiva y la aproximación de unión estrecha . En primer lugar, demuestra que lo primero es posible en el contexto de lo segundo. Además, como método para aproximar la estructura de la banda, la unión estrecha generalmente se opone al enfoque de electrones casi libres .
@Vadim Estoy de acuerdo, las dos aproximaciones no son "opuestas". De hecho, se vuelven equivalentes en la descripción de baja energía, porque uno puede verse como la aproximación del otro, y viceversa, en la parte inferior de la banda.

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