¿El marco de referencia de quién usar para dθdθd \theta cerca de un agujero negro?

Question

¿El marco de referencia de quién usar para dθdθd \theta cerca de un agujero negro?

maullar

Usando la métrica de Schwarzchild para un cuerpo que orbita circularmente un agujero negro que no gira (es decir, $dr=0$ ), la relación entre $d\tau$ , el tiempo entre dos pulsos de luz enviados infinitesimalmente juntos, medido por el objeto, y $dt$ , el tiempo entre los pusles medido por el observador lejos del agujero negro que recibe estos pulsos, es

C^{2} d τ^{2} = \frac{C^{2} d t^{2}}{1 + \frac{r_{s}}{r}} - r^{2} d θ^{2}

$c^2 d\tau^2=\frac{c^2dt^2 }{1+\frac{r_s}{r}}-r^2d\theta^2$

{(\frac{d τ}{d t})}^{2} = \frac{1}{1 + \frac{r_{s}}{r}} - {(\frac{r \dot{θ}}{C})}^{2} = \frac{1}{1 + \frac{r_{s}}{r}} - {(\frac{v}{C})}^{2}

$\left(\frac{d\tau}{dt}\right)^2=\frac{1 }{1+\frac{r_s}{r}}-\left(\frac{r \dot{\theta}}{c}\right)^2=\frac{1 }{1+\frac{r_s}{r}}-\left(\frac{v}{c}\right)^2$ dónde

r

$r$ es el radio reducido.

Sin embargo, ¿qué observador mide $d\theta$ , ¿y por qué? Esto tendrá consecuencias medibles para el valor de $v$ .

usuario4552

No creo que la segunda ecuación sea correcta. ¿Se supone que es solo la primera ecuación dividida por

c^{2} d t^{2}

$c^2 dt^2$ ? Si es así, entonces los dos términos del lado derecho son incorrectos. Por cierto, es posible que desee dejar de escribir todos los factores de

c

$c$ cuando haces cálculos en GR. Simplemente hacen que las ecuaciones se vean desordenadas. Todo el mundo en GR utiliza unidades con

c = 1

$c=1$ .

maullar

Fui descuidado al pegar la segunda ecuación. me doy cuenta de que

c = 1

$c=1$ es útil, pero no he estado haciendo GR el tiempo suficiente como para sentirme cómodo con él.

usuario4552

En la versión revisada de la segunda ecuación, ¿tiene la intención de

v

$v$ ser la velocidad transversal? Realmente no entiendo el punto de esta ecuación. ¿Que estas intentando hacer con eso? En general, una cantidad como esta

v

$v$ es una velocidad coordinada, que no tiene ningún interés particular y no tiene una interpretación física particular.

maullar

Quise decir que fuera transversal. Gracias, este era uno de los problemas que estaba teniendo antes. Estoy tratando de deducir la diferencia en las señales de tiempo entre las que envían los satélites GPS y las que reciben los terrícolas.

usuario4552

Ah, ya veo. Su cálculo muestra la suma de un desplazamiento hacia el azul gravitatorio y un desplazamiento hacia el rojo cinemático debido al efecto Doppler transversal. Los satélites GPS están en órbitas circulares, por lo que se reducen los desplazamientos Doppler longitudinales. Sin embargo, el usuario del GPS no está en el centro de la tierra, por lo que creo que todavía habrá cambios Doppler longitudinales, y dado que los cambios longitudinales van como

v

$v$ en vez de

v^{2}

$v^2$ , probablemente sean mayores que los efectos representados por sus ecuaciones.

maullar

¿Tiene un enlace que detalla esto a fondo (idealmente sin tensores o hechicería similar)? Obtuve la mayor parte de mi información de los 'agujeros negros' introductorios de Wheeler, y aunque es brillante para captar la intuición, a menudo no es muy riguroso.

maullar

@BenCrowell, por cierto, ¿puedo usar el SM si los satélites están en órbita (lo pregunto porque no es preciso si el agujero negro está girando)?

Respuestas (2)

¿El marco de referencia de quién usar para dθdθd \theta cerca de un agujero negro?

No creo que la segunda ecuación sea correcta. ¿Se supone que es solo la primera ecuación dividida por $c^2 dt^2$ ? Si es así, entonces los dos términos del lado derecho son incorrectos. Por cierto, es posible que desee dejar de escribir todos los factores de $c$ cuando haces cálculos en GR. Simplemente hacen que las ecuaciones se vean desordenadas. Todo el mundo en GR utiliza unidades con $c=1$ .
Fui descuidado al pegar la segunda ecuación. me doy cuenta de que $c=1$ es útil, pero no he estado haciendo GR el tiempo suficiente como para sentirme cómodo con él.
En la versión revisada de la segunda ecuación, ¿tiene la intención de $v$ ser la velocidad transversal? Realmente no entiendo el punto de esta ecuación. ¿Que estas intentando hacer con eso? En general, una cantidad como esta $v$ es una velocidad coordinada, que no tiene ningún interés particular y no tiene una interpretación física particular.
Quise decir que fuera transversal. Gracias, este era uno de los problemas que estaba teniendo antes. Estoy tratando de deducir la diferencia en las señales de tiempo entre las que envían los satélites GPS y las que reciben los terrícolas.
Ah, ya veo. Su cálculo muestra la suma de un desplazamiento hacia el azul gravitatorio y un desplazamiento hacia el rojo cinemático debido al efecto Doppler transversal. Los satélites GPS están en órbitas circulares, por lo que se reducen los desplazamientos Doppler longitudinales. Sin embargo, el usuario del GPS no está en el centro de la tierra, por lo que creo que todavía habrá cambios Doppler longitudinales, y dado que los cambios longitudinales van como $v$ en vez de $v^2$ , probablemente sean mayores que los efectos representados por sus ecuaciones.
¿Tiene un enlace que detalla esto a fondo (idealmente sin tensores o hechicería similar)? Obtuve la mayor parte de mi información de los 'agujeros negros' introductorios de Wheeler, y aunque es brillante para captar la intuición, a menudo no es muy riguroso.
@BenCrowell, por cierto, ¿puedo usar el SM si los satélites están en órbita (lo pregunto porque no es preciso si el agujero negro está girando)?

usuario4552 · Answer 1

GR no tiene marcos de referencia globales. No se necesita un marco de referencia global o local para definir coordenadas en GR. Elegir un marco inercial local es una forma posible de definir coordenadas localmente, pero no es la única forma y, por lo general, no es suficiente como una forma de definir coordenadas globalmente. En GR, las coordenadas son solo etiquetas para eventos, nada más y nada menos.

El hecho de que la métrica de Schwarzschild, expresada en coordenadas de Schwarzschild, tenga un $r^2d\theta^2$ término en él se toma típicamente como la definición de Schwarzschild $r$ coordinar. Esto se debe a que el $\theta$ La coordenada es simple de definir: en una capa esférica, simplemente definimos un gran círculo como $2\pi$ de ángulo Alternativamente, $r$ se puede definir como el radio de curvatura de la coraza. La razón por la que no es tan trivial definir $r$ es que no necesariamente podemos medir una distancia desde el centro; para un agujero negro, el centro es un punto que falta en el espacio-tiempo, y dentro del horizonte de eventos, el $r$ la coordenada es temporal en lugar de espacial.

Esto puede ser útil: http://www.lightandmatter.com/html_books/genrel/ch07/ch07.html#Section7.2

Juan Rennie · Answer 2

Está expresando la métrica en las coordenadas del observador de Schwarzschild, es decir, el científico que observa desde una distancia (efectivamente) infinita. Entonces el $\theta$ coordenada es la utilizada por el observador en el infinito, al igual que $t$ , $r$ y $\phi$ .

Dicho esto, creo (no tengo mis libros a mano, así que podría estar recordando esto mal) si te transformas en un marco de concha, el $\theta$ la coordenada permanece igual. No estoy seguro acerca de un marco en órbita.

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Juan Rennie

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