¿El hecho de que haya dos definiciones matemáticas diferentes de entropía implica que hay dos tipos diferentes de entropía?

Considere cómo se define matemáticamente la entropía en la termodinámica clásica:

d q = T d S ,

en el cual d q representa un "elemento" de calor, transferido de una fuente clásica a un destino clásico (que son sustancias continuas clásicas ), T para la temperatura tanto de la fuente clásica como de la clásica (lo que implica una forma reversible de transferencia de calor), y d S por el incremento de la variable conjugada a la temperatura T . Tenga en cuenta que la fórmula no es una expresión implícita para la entropía.

Por el contrario, la definición matemática de entropía en la mecánica estadística es explícita:

S = k B en ⁡ Ω ,

en el cual S representa la entropía estadística, k B es la constante de Bolzmann , y Ω para el número de microestados (o configuraciones microscópicas).

¿Pueden estas dos expresiones estar conectadas de alguna manera matemática? No lo creo (por lo que la entropía clásica no se puede derivar de la entropía estadística) porque si ese fuera el caso, eso significaría que se compararon cantidades incompatibles entre sí, lo que por definición no se puede hacer con tales cantidades (aunque se dice que k B forma el puente entre los dos enfoques de la termodinámica).

O para decirlo de otra manera, si hay dos definiciones matemáticas diferentes de entropía, ¿no significa eso que hay dos tipos diferentes (con lo cual no me refiero a interpretaciones diferentes) de entropía, incluso si tienen la misma unidad? ¿Y no se puede decir lo mismo de, por ejemplo, las diferentes nociones (definiciones matemáticas) de fuerza gravitacional a la luz newtoniana y einsteiniana? ¿O, aún más general, entre diferentes nociones de cualquier cantidad en cualquiera de los dos enfoques teóricos diferentes de estas cantidades?

Edité debido a algunas adiciones que se hicieron en la respuesta (muy clara) a continuación. Allí se dice que los dos enfoques diferentes son de hecho equivalentes. Pero mi punto es si son realmente iguales.en efecto. Se dice que el enfoque estadístico es más fundamental de lo que se deduce el enfoque estadístico, que solo se puede utilizar en relación con las mediciones. O para decirlo de otra manera, el enfoque clásico es experimental, a partir del cual (haciendo primero postulados) se puede deducir una teoría, mientras que el enfoque estadístico es teórico y puede probarse mediante experimentos. Así que no creo que sean lo único y lo mismo, en concepto. Por supuesto, puede decir que ambos se refieren a la única entropía verdadera, pero prefiero pensar que ambos enfoques (dependen de la teoría) se refieren realmente a dos tipos diferentes de entropía.

Creo que es bastante confuso sin embargo y sin embargo.

¿Alguien tiene una opinión sobre este asunto? Ahora mismo tengo la sensación de que esta pregunta pertenece cada vez más al departamento de ciencia-filosofía y cada vez menos a este...

Sí, no es fácil, pero puedes demostrar que los dos son equivalentes.
Vale, pero equivalencia no es lo mismo que igualdad.
Tal vez no entiendo exactamente lo que dices, sin embargo, si calculas para el mismo proceso, el Δ S usando las dos definiciones obtienes el mismo número.
El objetivo de un buen curso de mecánica estadística es demostrar que esto es cierto. También se muestra de manera destacada en casi cualquier libro de texto sobre el tema.
@dmcee Gracias por la edición (menor). Solo por el bien de saber: ¿Qué hace exactamente esa operación :\? No tiene mucho que ver con el contenido de esta pregunta, pero sin embargo...
@knzou ¿Pero no significa que si hay dos expresiones matemáticas diferentes para la entropía (que en ambos casos tienen la misma unidad) no pueden tener una interpretación igual?
Es más como si tuviéramos dos formas muy diferentes de pensar sobre exactamente lo mismo, lo que en realidad es una situación común en la física. Por cierto, esta es una buena pregunta, es solo que puede ser "demasiado grande" para obtener una buena respuesta, por lo que si no obtiene una, todavía hay muchos buenos libros que podría consultar.
Eso me SUENA plausible, pero ¿cómo puedes saber la verdadera naturaleza de eso exactamente? ¿Nuestros pensamientos sobre un objeto no tienen una influencia (de una manera no física) sobre ese objeto? Además, asumes que nuestros pensamientos (o formulaciones matemáticas) pueden ser separados de la realidad. Sin embargo, uno puede preguntarse si esta suposición corresponde a la realidad (dicho de otra manera, si esa suposición es verdadera). Pero ese es un tema más filosófico, sobre el cual ya se ha escrito una enorme montaña de palabras.
@descheleschilder Piénselo de esta manera: nuestros modelos matemáticos de sistemas físicos son funciones que toman algunos parámetros del sistema y escupen predicciones experimentales. Cualquier modelo que proporcione algunas predicciones experimentales exactas para las mismas entradas es físicamente indistinguible. Entonces, si demostramos que dos de estas funciones son idénticas, entonces físicamente los modelos deben ser los mismos. Es muy frecuente en la física que dos modelos que son a priori diferentes pero resulten codificar la misma física.
@descheleschilder si te refieres al \;que insertó dmckee, es un espacio horizontal

Respuestas (2)

Un punto importante es que la entropía estadística se define como una función de la energía total del sistema.

S ( mi ) = k B en ⁡ Ω ( mi ) .
Ahora suponga que su sistema que comienza con la energía total mi es llevar a la energía mi ′ = mi + d q por intercambio de calor. El calor intercambiado aquí es d q y tienes por cambio infinitesimal
S ( mi ′ ) − S ( mi ) = d S = d S d mi d q
En realidad, la temperatura se define en mecánica estadística como 1 T = d S d mi y recuperas tu fórmula clásica de la mecánica estadística

d S = d q T

Por lo tanto, ambas fórmulas están realmente conectadas.

Un punto sobre la diferencia entre la termodinámica y la mecánica estadística.

La termodinámica se trata de lo que se puede decir sobre el sistema sobre una base exterior, eso significa que el postulado de la termodinámica asume la existencia de algunas funciones (energía interna, entropía,...) y dice que esas funciones son suficientes para describir el intercambio del sistema. con el exterior. Pero la termodinámica nunca proporciona una forma de calcular esas funciones y cantidades asociadas (como la capacidad calorífica).

Sin embargo, la mecánica estadística se ocupa del cálculo de tales cantidades a partir del primer principio (se comienza con el hamiltoniano del sistema).

Entonces, no tenemos incompatibilidades a priori entre la definición de entropía en termodinámica y la mecánica estadística, ya que la termodinámica nunca explica cómo calcular la entropía sin tener que medir cosas. (Si mide la capacidad de calor, debería poder recuperar la entropía, pero tendrá que medir algo)

Ahora entiendo cómo se pueden conectar matemáticamente, pero ¿eso significa que son exactamente lo mismo, así llamado? Matemáticamente es obvio. Pero quiero decir, ¿conceptual? Quiero decir que usas cantidades de dos teorías conceptualmente diferentes.
@descheleschilder ¿Tiene un ejemplo que esté considerando donde la equivalencia matemática no significa equivalencia física? Eso podría ayudar a que su pregunta sea más clara.
Agrego algunas cosas sobre la diferencia entre la termodinámica y la mecánica estadística, espero que te ayude. El punto clave es que la termodinámica y la mecánica estadística no son teorías conceptualmente diferentes.
@descheleschilder El comentario anterior es para usted. Hadrian, si no etiquetas a un usuario, es posible que no se le notifique tu comentario.
@descheleschilder La gravedad newtoniana no es equivalente a GR. Es sólo un cierto límite de la misma.
Entonces, ¿la gravedad newtoniana es un tipo de gravedad verdaderamente diferente? Probablemente responderá que hay (existe) solo UN TIPO de gravedad (la verdadera), pero en ese caso, no tiene en cuenta qué enfoque de la gravedad se utiliza. Y creo que no todos los diferentes enfoques conducen al único y verdadero tipo de gravedad. Es relativo (una palabra apropiada en este caso) al enfoque que define la verdadera Naturaleza de la gravedad. Esto no implica, por cierto, que sea un relativista. No soy un tipo de --ist porque son demasiado abstractos.
Y SI solo existe un tipo de gravedad, nunca podremos saber cómo es. Así que prefiero pensar que realmente existen diferentes tipos de gravedad (dependiente de la teoría).
@AaronStevens ¡Hola! Etiqueté este comentario antes accidentalmente con el nombre incorrecto, así que... Escribí un ejemplo en mi pregunta. Como puedes leer, sobre la gravedad newtoniana versus la gravedad einsteiniana. Se pueden traducir matemáticamente (aunque no estoy seguro de si eso se puede hacer en ambas direcciones), por lo que son equivalentes. Pero eso NO es lo mismo que ser idéntico si sabes a lo que me refiero. No estoy de acuerdo (pero sé lo que quieres decir) con que ambos enfoques termodinámicos no sean conceptualmente diferentes. (Continúa más abajo) – descheleschilder hace 3 horas
El enfoque estadístico ofrece una explicación más profunda, lo que significa que es teórico, mientras que el enfoque clásico es experimental. ¿No es esa una diferencia conceptual?

Cómo considero que las definiciones de entropía están conectadas:

Termodinámica clásica: la entropía es una medida de la cantidad de energía que no está disponible para realizar un trabajo.

Mecánica estadística (entropía de Boltzmann): la entropía es una medida de la cantidad de información que no está disponible sobre el sistema de muchas partículas (es decir, la entropía es una medida de información potencial y Boltzmann = entropía de Shannon cuando los microestados son equiprobables)

Entonces, si esta es la misma entropía, una medida de energía o información no disponible

entonces la energía debe ser proporcional a la información, ¿no?

Claro que lo es: el principio de Landauer, la conexión matemática.

¡Esa es una perspectiva muy interesante! Esto ya puede implicar que de antemano estás asumiendo la posición de que los dos NO son realmente iguales, pero sin embargo. ¿No es cierto que ambos enfoques de la SUSTANCIA a la que se refiere el MISMO tipo de energía se definen de manera diferente? Tengo la sensación de que este será un tema cada vez más filosófico.
¿El hecho de que haya dos definiciones matemáticas diferentes de entropía implica que hay dos tipos diferentes de entropía?
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