¿El espacio-tiempo se define matemáticamente sin usar la velocidad ccc?

¿Existe una definición matemática del espacio-tiempo que no use la velocidad c como factor de conversión o que no involucre el intervalo del espacio-tiempo?

¡Si, absolutamente! La cantidad$c$realmente es solo un factor de conversión de unidades. Si usamos un sistema de coordenadas$t,x,y,z$con$t$expresada en unidades de tiempo y$x,y,z$expresado en unidades de longitud, entonces necesitamos usar$c$en algunas ecuaciones para igualar las unidades, como en esta ecuación para el tiempo propio$\tau$:

$$d\tau^2 = dt^2 - \frac{dx^2+dy^2+dz^2}{c^2}. \tag{1}$$ (Aquí,$d\tau$es el incremento de tiempo propio a lo largo de una parte de la historia del objeto, y$dt,dx,dy,dz$son los correspondientes incrementos de coordenadas.) Pero también podemos usar un sistema de coordenadas$t,x,y,z$(Estoy reciclando las letras) con las cuatro coordenadas expresadas en las mismas unidades. Entonces la ecuación (1) se convierte en $$d\tau^2 = dt^2 - (dx^2+dy^2+dz^2). \tag{2}$$ De hecho, esta es la forma en que los físicos suelen hacer las cosas en relatividad general (como decía el comentario de Ben Crowell). Podemos expresar$\tau,t,x,y,z$todo en unidades de tiempo, o podríamos expresarlos todos en unidades de longitud.

La justificación para esto es esencialmente la misma que la justificación para expresar tanto las distancias verticales como las distancias horizontales en las mismas unidades. Podríamos expresar las distancias verticales en metros y expresar las distancias horizontales en pies, pero luego necesitaríamos incluir un factor de conversión de unidades incómodo en la ecuación para el incremento de longitud$d\ell$en el espacio tridimensional, así:

$$d\ell^2 = \frac{dx^2+dy^2}{a^2}+dz^2 \tag{3}$$ dónde$a$es el factor de conversión que relaciona las unidades de distancia horizontal y vertical. Sin embargo, gracias a la simetría rotacional, es más natural usar las mismas unidades para ambos tipos de distancia, especialmente porque la mayoría de las distancias no son ni verticales ni horizontales, sino intermedias. Así que también podríamos usar las mismas unidades para ambos y simplemente escribir la ecuación de distancia de esta manera: $$d\ell^2 = dx^2+dy^2+dz^2. \tag{4}$$ La diferencia entre las ecuaciones (1) y (2) es la misma que la diferencia entre las ecuaciones (3) y (4). En el caso de las ecuaciones (1) y (2), la simetría de Lorentz es la razón por la cual (2) es más natural que (1), al igual que la simetría rotacional es la razón por la cual (4) es más natural que (3). La simetría de Lorentz mezcla la coordenada$t$con las coordenadas$x,y,z$, al igual que la simetría rotacional mezcla las coordenadas$x,y$con la coordenada$z$.