Ecuaciones de movimiento para un péndulo esférico en un marco de referencia no inercial

Tome un péndulo esférico con masa bob$m$, longitud de la barra$\ell$y coordenadas físicas$\theta$,$\phi$(ángulos esféricos) y$h$(la altura de la bisagra con respecto al origen de coordenadas). La varilla no tiene masa y es infinitamente rígida. Aquí se describe la derivación de las ecuaciones de movimiento de un sistema de este tipo utilizando la dinámica de Lagrange . Tenga en cuenta que la altura de la bisagra$h$es una coordenada ignorable y por lo tanto no juega ningún papel en las ecuaciones de movimiento.

Sin embargo, me gustaría extender este sistema colocando el péndulo esférico en un marco de referencia no inercial que gira y acelera (lineal y angularmente), y cambiar el péndulo de modo que tenga amortiguación en la bisagra con relación$\gamma$, y funciones conocidas de tiempo para$\dot{m}$,$\dot{\ell}$y$\dot{h}$, así como$\ddot{m}$,$\ddot{\ell}$y$\ddot{h}$(estos son todos$\neq 0$).

Mi dinámica lagrangiana está bastante oxidada (por decirlo suavemente), así que cuando comencé a escribir las ecuaciones para la energía cinética$T$y potencial$V$, inmediatamente me quedé atascado en las siguientes preguntas:

• ¿Puede el potencial$V$todavía se escribe como$-mg\ell\cos\theta$, o el potencial debe tener en cuenta la no inercia del marco?
• De hecho, ¿este sistema de péndulo sigue siendo conservador (después de todo, hay disipación debido al amortiguamiento)? ¿Cómo debo hacerlo si no es así?
• ¿ Puedo de alguna manera hacer los productos vectoriales y adiciones requeridos después ? Quiero decir: ¿puedo derivar primero las ecuaciones de movimiento como si el marco de referencia del péndulo fuera inercial , y luego llegar a la forma final agregando los términos lineales, centrípetos, de Coriolis y de Euler? ¿O es necesario incluirlos desde el principio de alguna manera?

La mayoría de los ejemplos que encuentro o que tengo disponibles parecen demasiado triviales para este tipo de problema... Y este problema está simplemente más allá de cualquier cosa que haya hecho en el pasado. Se agradecería mucho alguna ayuda y/u orientación y/o enlaces a problemas similares.

Tenga en cuenta que he hecho una pregunta similar antes , pero la solución que tengo allí es bastante insatisfactoria; considera la fuerza de restricción (tensión en la cuerda), que resulta que no es realmente necesaria. También es bastante malo en términos numéricos, debido a las discontinuidades dependientes del tiempo en las fuerzas aplicadas a la lenteja. Así que voy con una caña ahora, que tiene cambios de longitud insignificantes (salvo por el$\dot{\ell}$y$\ddot{\ell}$términos).

Aunque podría hacerlo a la manera "newtoniana" considerando cuidadosamente todas las fuerzas, etc., realmente me gustaría aprender (nuevamente) cómo hacerlo limpiamente usando la formulación lagrangiana.